数と式の問題【2018年神奈川県・横浜市・川崎市・相模原市教員採用試験】

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今回は2018年神奈川県・横浜市・川崎市・相模原市教員採用試験の過去問からです。

不等式 $(x^{2}-6x+2)^{2}-4(x^{2}-6x+2)-45\leqq 0$ を満たす整数 $x$ の個数を求めよ。

難易度は☆☆☆☆です。

因数分解後の不等式の処理の仕方がポイントです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

$x^{2}-6x+2=X$ とおくと、不等式の左辺は

$\begin{eqnarray*} X^{2}-4X-45&=&(X-9)(X+5)\\ &=&(x^{2}-6x+7)(x^{2}-6x-7)\end{eqnarray*}$

と変形できますので、

$(x^{2}-6x+7)(x^{2}-6x-7)\leqq 0$

を考えることになります。この不等式から

$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-6x+7&\geqq &0\\ x^{2}-6x-7&\leqq &0\end{array}\right.$

または

$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-6x+7&\leqq &0\\ x^{2}-6x-7&\geqq &0\end{array}\right.$

であることがわかります。

前者の連立不等式の解は解なし、後者の連立不等式の解は

$-1\leqq x\leqq 3-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{2}\leqq x\leqq 7$

となります。

この不等式を満たす整数は $-1,\ 0,\ 1,\ 5,\ 6,\ 7$ の6個となります。

不等式の左辺において、因数分解をするところまでは行きつくことができるかと思います。

そのあとの処理を適切に行わないと間違った答えが出てくる可能性があります。

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。