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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通問題第2問です。
今回の問題の原文
2次方程式がの範囲に異なる2つの実数解を持つとき、の値の範囲を求めなさい。ただし、は実数とする。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
2次方程式の解から係数を決定する問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
2次の係数に文字式が含まれている場合は要注意です。
2次方程式が異なる2つの実数解を持ちますので、この方程式の判別式をとすると
となります。条件はですので、これを満たすの値の範囲はとなります。
解と係数の関係より、2つの実数解をとすると
となります。条件は
(a)2つの実数解がともに以上
(b)2つの実数解がともに以下
の2つ両方とも満たすことです。
(a)解と係数を用いた条件は
かつ
となります。分母に文字式が含まれていますので、その符号によって場合分けをする必要があることに注意します。この不等式の解はです。
(b)先ほどと同様に条件をあぶり出します。
かつ
となります。この不等式の解はとなります。
求めるの値の範囲は、ここまで求めたの値の共通部分になります。それを取ると
となります。
いかがだったでしょうか?
不等式を解くときが一番注意しなければいけないところかと思います。
文字式をかける必要がありますので、その文字式が負になるときと正になるときで場合分けをして話を進めていかなければなりません。
さらに不等式の解を出す必要がありますので、解いた不等式の解と場合分けを行った値の範囲の共通部分を取っていくのが面倒です。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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