マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2006年中高共通第2問】

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題第2問です。

今回の問題の原文

2次方程式 ax^{2}-4x+a+3=0 -1\leqq x\leqq 3の範囲に異なる2つの実数解を持つとき、 aの値の範囲を求めなさい。ただし、 aは実数とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次方程式の解から係数を決定する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次の係数に文字式が含まれている場合は要注意です。

2次方程式が異なる2つの実数解を持ちますので、この方程式の判別式を Dとすると

 D/4=-a^{2}-3a+4

となります。条件は D\gt 0ですので、これを満たす aの値の範囲は -4\lt a\lt 1となります。

解と係数の関係より、2つの実数解を \alpha , \betaとすると

 \displaystyle \alpha +\beta =\frac{4}{a},\ \alpha \beta=\frac{a+3}{a}(=1+\frac{3}{a})

となります。条件は

(a)2つの実数解がともに -1以上

(b)2つの実数解がともに 3以下

の2つ両方とも満たすことです。

(a)解と係数を用いた条件は

 (\alpha +1)+(\beta +1)\geqq 0かつ (\alpha +1)(\beta +1)\geqq 0

となります。分母に文字式が含まれていますので、その符号によって場合分けをする必要があることに注意します。この不等式の解は \displaystyle a\leqq -\frac{7}{2},\ 0\leqq aです。

(b)先ほどと同様に条件をあぶり出します。

 (\alpha -3)+(\beta -3)\leqq 0かつ (\alpha -3)(\beta -3)\geqq 0

となります。この不等式の解は \displaystyle a\lt 0,\ \frac{9}{10}\leqq aとなります。

求める aの値の範囲は、ここまで求めた aの値の共通部分になります。それを取ると

 \displaystyle -4\lt a\leqq -\frac{7}{2},\ \frac{9}{10}\leqq a\lt 1

となります。

いかがだったでしょうか?

不等式を解くときが一番注意しなければいけないところかと思います。

文字式をかける必要がありますので、その文字式が負になるときと正になるときで場合分けをして話を進めていかなければなりません。

さらに不等式の解を出す必要がありますので、解いた不等式の解と場合分けを行った値の範囲の共通部分を取っていくのが面倒です。

 

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