マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編【数と式・集合】

数と式 2次関数大学入試対策

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今週は共通テスト前の基礎確認のための問題です。

今回は不等式と集合に関する問題です。

今回の問題の原文

$a\gt 0$ とする。

(1) $x$ の不等式 $x^{2}-ax-2a^{2}\lt 0$ を解け。

(2) $a=1$ のとき、(1)の不等式を満たす整数 $x$ 全体の集合を $A$ とする。このとき、集合 $A$ の要素を書き並べよ。

(3)(1)の不等式を満たす整数 $x$ 全体の集合を $A(a)$ 、 $x$ の不等式 $ax\lt a^{2}$ を満たす整数 $x$ 全体の集合を $B(a)$ とする。このとき、 $A(a)\subset B(a)$ を満たす $a$ の値の範囲を求めよ。

(4) $|x-a|\lt 3$ を満たす整数 $x$ 全体の集合を $C(a)$ とする。 $C(a)$ の要素の個数を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

不等式と集合に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$x$ の不等式 $x^{2}-ax-2a^{2}\lt 0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-ax-2a^{2}&\lt &0\\ (x+a)(x-2a)&\lt 0\end{eqnarray*}$

となりますので、求める不等式の解は $a\gt 0$ であることから $-a\lt x\lt 2a$ となります。

$a=1$ のとき、この不等式の解は $-1\lt x\lt 2$ となりますので、 $A=\{ 0,1\}$ となります。

不等式 $ax\lt a^{2}$ の解は $x\lt a$ となります。

ここまで解いた不等式の解を比較すると、 $A(a)\subset B(a)$ となるような $a$ の値の範囲は

$\displaystyle 0\lt a\lt 1,\ 1\lt a\lt \frac{3}{2}$

となります。

最後に出てくる不等式は $|x-a|<3$ ですが、これを解くと

$a-3\lt x\lt a+3$

となります。この解から $A(2)=C(1)$ となります。

また、 $a$ の値に関係なく $C(a)$ の要素は5個あります。

いかがだったでしょうか？

不等式では文字式で割ることに要注意です。割った数の符号で不等号の向きが変わるからです。

集合の問題は共通テストで出題される可能性がありますので、ここもチェックが必要かもしれません。

あとは「十分条件・必要条件」は出題される可能性が非常に高いですので、センター試験時代を含む過去問を使って演習しておくと良いかと思います。

　

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