マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数と式の問題【2018年埼玉県・さいたま市教員採用試験】

数と式教員採用試験の過去問

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

久しぶりの更新です。

今週は数と式に関する大学入試・教員採用試験の問題を扱います。

今回の問題は埼玉県・さいたま市教員採用試験で出題された過去問です。

今回の問題の原文

$|n^{4}-15n^{2}+25|$ の値が素数となるような自然数 $n$ の個数として正しいものを(1)～(4)の中から1つ選びなさい。

(1) 2　(2) 4　(3) 6　(4) 8

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

最初の因数分解ができないと太刀打ちできません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$n^{4}-15n^{2}+25$ を因数分解します。

次のように工夫をする必要があります。

$\begin{eqnarray*} n^{4}-15n^{2}+25&=&n^{4}+10n^{2}+25-25n^{2}\\ &=&(n^{2}+5)^{2}-(5n)^{2}\\ &=&(n^{2}+5-5n)(n^{2}+5+5n)\\ &=&(n^{2}-5n+5)(n^{2}+5n+5)\end{eqnarray*}$

$|n^{4}-15n^{2}+25|$ の値が素数となるのは、次の場合が考えられます。

(1) $n^{2}-5n+5=\pm 1$ かつ $n^{2}+5n+5$ が素数

(2) $n^{2}+5n+5=\pm 1$ かつ $n^{2}-5n+5$ が素数

(1)の場合を考えてみます。

$n^{2}-5n+5=1$ のとき、 $n^{2}-5n+4=0$ ですが、この方程式を解くと $n=1,\ 4$ です。

$n=1$ のとき $n^{2}+5n+5=11$ で素数となりますので(1)の条件を満たしています。

$n=4$ のとき $n^{2}+5n+5=41$ で素数となりますので、これも(1)の条件を満たします。

$n^{2}-5n+5=-1$ のとき、 $n^{2}-5n+6=0$ ですが、この方程式を解くと $n=2,\ 3$ です。

$n=2$ のとき $n^{2}+5n+5=19$ で素数となりますので(1)の条件を満たしています。

$n=3$ のとき $n^{2}+5n+5=29$ で素数となりますので、これも(1)の条件を満たしています。

次に、(2)の場合を考えてみます。

$n^{2}+5n+5=1$ のとき、 $n^{2}+5n+4=0$ ですが、この方程式を解くと $n=-1,\ -4$ です。

これらの解は自然数ではありませんので、この解は除きます。

$n^{2}+5n+5=-1$ のとき、 $n^{2}+5n+6=0$ ですが、この方程式を解くと $n=-2,\ -3$ です。

これらの解は自然数ではありませんので、この解は除きます。

以上から、 $|n^{4}-15n^{2}+25|$ の値が素数となる自然数 $n$ は $1,\ 2,\ 3,\ 4$ の4個となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

最初の因数分解で工夫が必要でした。

思いつかないと先に進むことはほとんど不可能かと思います。

このような因数分解は慣れが必要ですので、演習を重ねていくしかないかもしれません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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