マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【基礎の数学p56問1】

論文等からの問題必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $a+c=b+d$ は $a=b$ かつ $c=d$ であるための（　）

(2) $|a|=5$ は $a=-5$ であるための（　）

(3)「 $n$ は整数である」は「 $2n$ が偶数である」ための（　）

(4) $x=1$ は $x^{2}+2x-3=0$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

裳華房から出版されている「基礎の数学」に載っている問題です。

教科書ではないですが、内容は高校数学の基礎的なものとなっています。

今回の問題の解説

(1)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・ $a+c=b+d\Longrightarrow a=b$ かつ $c=d$

・ $a=b$ かつ $c=d\Longrightarrow a+c=b+d$

前者の命題は $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=2$ が反例となっていますので、偽の命題となります。

後者の命題は $a=b=k,\ c=d=l$ とおくと

$a+c=k+l,\ b+d=k+l$

となっていますので、 $a+c=b+d$ であることが示せます。

したがって、この命題は真の命題となります。

以上から、 $a+c=b+d$ であることは $a=b$ かつ $c=d$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・ $|a|=5\Longrightarrow a=-5$

・ $a=-5\Longrightarrow |a|=5$

前者の命題については、 $|a|=5$ を解くと $a=\pm 5$ となります。

したがって、 $a=5$ が反例となります。

よって、この命題は偽の命題となります。

後者の命題は真の命題です。

以上から、 $|a|=5$ は $a=-5$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(3)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・「 $n$ が整数である」 $\Longrightarrow$ 「 $2n$ は偶数である」

・「 $2n$ が偶数である」 $\Longrightarrow$ 「 $n$ は整数である」

前者の命題は真の命題です。

後者の命題については、 $2n$ が偶数であるとき、整数 $k$ を用いて

$2n=2k$

と表すことができます。この式の両辺を $2$ で割ると

$n=k$

が得られます。 $k$ は整数ですので、 $n$ も整数であることがわかります。

したがって、この命題は真の命題です。

以上から、「 $n$ は整数である」は「 $2n$ は偶数である」ための「必要十分条件」となります。

(4)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・ $x=1\Longrightarrow x^{2}+2x-3=0$

・ $x^{2}+2x-3=0\Longrightarrow x=1$

前者の命題については、仮定が $x=1$ ですので、これを $x^{2}+2x-3$ という式に代入すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}+2x-3&=&1^{2}+2\cdot 1-3\\ &=&1+2-3\\ &=&0\end{eqnarray*}$

となり、 $x^{2}+2x-3=0$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真の命題となります。

後者の命題は、 $x$ の2次方程式 $x^{2}+2x-3=0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}+2x-3&=&0\\ (x-1)(x+3)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、解は $x=1,\ -3$ となります。

よって、 $x=-3$ がこの命題の反例となりますので、この命題は偽の命題になります。

以上から、 $x=1$ は $x^{2}+2x-3=0$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

どれも必要条件・十分条件に関する基礎的な問題でした。

命題を作って、その命題の真偽を調べることがこのような問題の解法になります。

面倒かもしれませんが、この方法が確実です。

　

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