マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【常葉大学2023年一般入試前期日程1日目】

必要条件・十分条件入試問題

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

正の整数 $n$ に対し、条件 $p,\ q,\ r$ を

$p:n$ は $2$ の倍数

$q:n+1$ は $3$ の倍数

$r:n^{2}+2$ は $6$ の倍数

で定める。このとき、（　）に当てはまるものを、「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちから1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(1) $n$ が $p$ を満たすことは、 $n$ が $q$ を満たすための（　）

(2) $n$ が「 $p$ かつ $q$ 」を満たすことは、 $n$ が $r$ を満たすための（　）

今回の問題について

2023年常葉大学の一般入試1日目で出題された問題です。

センター試験時代に出ていた問題風ですね。

集合に関する考え方も必要です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $p\Longrightarrow q$ を考えます。

$n=2$ とすると、 $n$ は条件 $p$ を満たします。

この $n$ について条件 $q$ を満たしているかを考えてみます。

$n+1=3$ となりますので、この $n$ は条件 $q$ を満たしています。

この状況がいつでも成り立っていれば、証明することが可能です。

$n=4$ のときはどうでしょうか？この $n$ は条件 $p$ を満たしています。

ところが、 $n+1=5$ となり、条件 $q$ を満たしていません。

$n=4$ が反例となりますので、この命題は偽であることがわかります。

逆の命題 $q\Longrightarrow p$ を考えます。

条件 $q$ を満たし、条件 $p$ を満たさないような正の整数 $n$ を探します。

言い換えると $n+1$ が $3$ の倍数となるような奇数 $n$ がないかを考えます。

$n=5$ が条件 $q$ を満たす最小の奇数です。もちろんこれ以外に反例があればそれを挙げても良いですし、今回のように最小のものでなくても構いません。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 $n$ が $p$ を満たすことは $n$ が $q$ を満たすための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

条件 $p$ を満たす正の整数 $n$ 全体の集合を $P$ 、条件 $q$ を満たす正の整数 $n$ 全体の集合を $Q$ とすると

$P=\{ 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32\cdots \}$

$Q=\{ 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,\cdots \}$

となります。条件 $p$ かつ $q$ を満たす正の整数 $n$ 全体の集合は $P\cap Q$ となりますので、その集合の要素を書き並べていくと

$P\cap Q=\{ 2,8,14,20,26,32,38,44,\cdots \}$

となります。この集合の要素の規則性を見ると、最初が $2$ で、 $6$ を加えていくと次の要素が出てきていますので

$P\cap Q=\{ n|n=6m-4\ \ mは正の整数\}$

と表すことができます。この集合の任意の要素について

$\begin{eqnarray*} n^{2}+2&=&(6m-4)^{2}+2\\ &=&36m^{2}-48m+16+2\\ &=&36m^{2}-48m+18\\ &=&6(6m^{2}-8m+3)\end{eqnarray*}$

となります。 $m$ は正の整数ですので $6(6m^{2}-8m+3)$ は $6$ の倍数です。

以上から、命題 $p$ かつ $q\Longrightarrow r$ は真の命題となります。

この逆の命題 $r\Longrightarrow p$ かつ $q$ を考えてみます。

$n=4$ は $n^{2}+2=18$ となりますので、条件 $r$ を満たす正の整数です。

この $n$ について $n+1=5$ となりますので、条件 $q$ を満たしていません。

したがって、 $n=4$ が反例となりますのでこの命題は偽となります。

以上から、 $n$ が $p$ かつ $q$ を満たすことは $n$ が $r$ を満たすための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

$n$ を小さい順に値を設定していって実験していくと方針が見えてきます。

いわゆる難易度の低い問題（易しい問題）は2,3回実験すれば反例が出てきます。

反例が出てこなければ真の命題である可能性があるので、証明を試みてみると良いかもしれません。

　

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