マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

yahoo!知恵袋にあった問題1【必要条件・十分条件】

大学入試対策必要条件・十分条件

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $x\lt 2$ であることは $x\lt -1$ であるための（　）

(2) $x=1$ であることは $x^{2}=1$ であるための（　）

(3) $a\lt b$ であることは $2a\lt 2b$ であるための（　）

(4) $4m+n$ が3の倍数であることは $m+n$ が3の倍数であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回からはしばらくyahoo!知恵袋で投稿されていた問題を紹介します。

ちなみに私は回答していません。

今回の問題は画像が添付されているものがありましたが、おそらく定期テストのためのプリントかチャート式の問題かと思われます。

重要そうな問題が多くありますので、この問題でぜひ練習をしてみてください。

以下に解説を載せておきますのでご参考ください。

今回の問題の解説

(1)の問題について

この問題については集合で考えてみます。

$A=\{ x|x\lt 2\} ,\ B=\{ x|x\lt -1\}$ とすると $B\subset A$ が成り立ちます。

したがって、 $x\lt 2$ は $x\lt -1$ であるための必要条件となります。

(2)の問題について

$x=1\Longrightarrow x^{2}=1$ の真偽を調べます。

$x=1$ ならば、 $x^{2}=1$ となりますのでこの命題は真です。

$x^{2}=1\Longrightarrow x=1$ の真偽を調べます。

$x^{2}=1$ を解くと $x=\pm 1$ となります。

したがって、 $x=-1$ は仮定の $x^{2}=1$ を満たしますが $x=1$ を満たしませんので、これが反例となります。

よって、この命題は偽です。

以上より、 $x=1$ は $x^{2}=1$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

(3)の問題について

$a\lt b\Longrightarrow 2a\lt 2b$ の真偽を調べます。

不等式 $a\lt b$ の両辺に $2$ をかけると $2a\lt 2b$ が成り立ちますので、この命題は真です。

$2a\lt 2b \Longrightarrow a\lt b$ の真偽を調べます。

不等式 $2a\lt 2b$ の両辺を $2$ で割ると $a\lt b$ が成り立ちますので、この命題は真です。

以上より、 $a\lt b$ は $2a\lt 2b$ であるための必要十分条件となります。

(4)の問題について

$4m+n=3m+(m+n)$ より

$4m+n$ が $3$ の倍数ならば、 $3m$ が $3$ の倍数となりますので、 $m+n$ は $3$ の倍数となります。

逆に $m+n$ が $3$ の倍数ならば $4m+n$ は $3$ の倍数となります。

したがって、 $4m+n$ が $3$ の倍数であることは $m+n$ が $3$ の倍数であるための必要十分条件となります。

いかがだったでしょうか？

数に関する必要条件・十分条件の問題は頻出ですので、是非解けるようにしておきたいです。

少し難しくなると(4)のような問題に出くわすことがあります。

式変形の工夫の仕方も覚えておくと良いかもしれません。

　

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