マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2023年北九州市立看護専門学校】

入試問題必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$a,\ b$ を実数とする。

(1) $a^{2}+b^{2}-2a-2b=-2$ であることは $a=b=1$ であるための（　）

(2) $ab-a-b=-1$ であることは $a=b=1$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回は令和5年の北九州市立看護専門学校からの問題です。

命題の真偽を判定するのにある程度式変形を行う必要があります。

少し難しいかもしれませんが、対処法が分かればそうではなさそうです。

編集の都合上、問題文の細かい文言を変えてあります。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $a^{2}+b^{2}-2a-2b=-2\Longrightarrow a=b=1$ の真偽を調べます。

等式 $a^{2}+b^{2}-2a-2b=-2$ を以下のように変形していきます。

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-2a-2b&=&-2\\ a^{2}-2a+1+b^{2}-2a+1&=&0\\ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

ここで、実数 $x,\ y$ について $x^{2}+y^{2}=0$ ならば $x=y=0$ が成り立ちますので、 $a-1=0$ かつ $b-1=0$ すなわち $a=b=1$ が成り立ちます。よって、この命題は真です。

$a=b=1\Longrightarrow a^{2}+b^{2}-2a-2b=-2$ の真偽を調べます。

$a=b=1$ のとき $a^{2}+b^{2}-2a-2b$ の値が $-2$ となれば、この命題が真であることがわかります。数値を代入して計算していくと

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-2a-2b&=&1^{2}+1^{2}-2\times 1-2\times 1\\ &=&1+1-2-2\\ &=&-2\end{eqnarray*}$

となりますので、この命題は真です。

以上から、 $a^{2}+b^{2}-2a-2b=-2$ であることは $a=b=1$ であるための「必要十分条件」となります。

(2)の問題について

$ab-a-b=-1\Longrightarrow a=b=1$ の真偽を調べます。

等式 $ab-a-b=-1$ を以下のように変形してみます。

$\begin{eqnarray*} ab-a-b&=&-1\\ ab-a-b+1&=&0\\ a(b-1)-(b-1)&=&0\\ (a-1)(b-1)&=&0\end{eqnarray*}$

この結果から $a=1$ または $b=1$ であることがわかります。ですので、 $a=1$ 、 $b$ を $1$ 以外に設定すれば $ab-a-b=-1$ を満たし、 $a=b=1$ を満たさないものを挙げることができます。例えば $a=1,\ b=0$ がその1つです。よって、この命題は偽です。

$a=b=1\Longrightarrow ab-a-b=-1$ の真偽を調べます。

$a=b=1$ のとき $ab-a-b$ の値が $-1$ となれば、この命題が真であることがわかります。数値を代入して計算していくと

$\begin{eqnarray*} ab-a-b&=&1\times 1-1-1\\ &=&1-1-1\\ &=&-1\end{eqnarray*}$

となりますので、この命題は真です。

以上から、 $ab-a-b=-1$ であることは $a=b=1$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題のように式変形をしておかないと反例が出にくいパターンがあります。

式をそのままの状態で反例を探すよりかは断然楽ですので、そのような手をとるのも良いかもしれません。

命題が真である場合はそのまま証明が可能なはずです。

実験も大事ということでしょうか。しかし、専門学校の問題にしては少し難しい気がします。

　

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