必要条件・十分条件の問題【2019年都立看護専門学校】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$x,\ y$ は実数とする。

(1) $x=2$ は $x^{2}-x-2=0$ であるための（　）

(2) $x\not=0$ は $xy\not=0$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2019年度の都立看護専門学校で出題された問題です。

都立看護専門学校では必要条件・十分条件に関する問題がここ最近、頻出になっていますので要チェックです。

ちなみに令和3年度の入試からは全て出題されていますので次の令和6年度の入試も出題される可能性が高いです。

今回の問題も命題の真偽を調べる方法で解くと良いですが、対偶を取る方法も考えたほうが良さそうです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$x=2\Longrightarrow x^{2}-x-2=0$ の真偽を調べます。

$x^{2}-x-2$ に $x=2$ を代入して計算していくと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-x-2&=&2^{2}-2-2\\ &=&4-2-2&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、この命題は真です。

$x^{2}-x-2=0\Longrightarrow x=2$ の真偽を調べます。

2次方程式 $x^{2}-x-2=0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-x-2&=&0\\ (x+1)(x-2)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので $x=-1$ と $x=2$ が解となります。

$x=-1$ が仮定を満たして結論を満たさないものとなりますので、これが反例となります。

よって、この命題は偽です。

以上から $x=2$ は $x^{2}-x-2=0$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

$x\not=0 \Longrightarrow xy\not=0$ の真偽を調べます。

$x=1,\ y=0$ は $x\not=0$ を満たしますが、 $xy=0$ となり結論の $xy\not=0$ を満たしません。

したがって、これが反例となりますので、この命題は偽となります。

$xy\not=0 \Longrightarrow x\not=0$ の真偽を調べます。

この命題の対偶の $x=0\Longrightarrow xy=0$ を考えてみます。

$x=0$ ですので $xy=0$ となります。

よってこの命題は真となります。

対偶の命題と元の命題の真偽は一致しますので、元の命題も真であることがわかります。

以上から、 $x\not=0$ は $xy\not=0$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

今回は方程式に関する必要条件と十分条件の問題でした。

方程式の問題は必要十分条件に見えるかもしれませんが、そうではないことに注意が必要です。

仮定を使って結論を導き出せるか、そうでなければ仮定を満たして結論を満たさないものがあるかをチェックしていくことが大切です。

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