必要条件・十分条件【3つの比例式】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

次の条件を考える

$\displaystyle p:\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$\displaystyle q:\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$

$\displaystyle r:\frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}=\frac{ac}{bd}$

(1) $p$ は $q$ であるための（　）

(2) $p$ は $r$ であるための（　）

(3) $q$ は $r$ であるための（　）

（　）の中には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回は比例式の問題です。

比例式に関する等式の証明は数学Ⅱの「式と証明」という単元で学びます。

$p\Longrightarrow q$ と $p\Longrightarrow r$ の問題は定期テストで出題されてもおかしくないので、証明はできるようにしておきたいです。

では、これらの命題の逆は真なのか？と考えてみたのが今回の問題です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおくと $a=bk,\ c=dk$ となります。

よって、

$\begin{eqnarray*} \frac{a+c}{b+d}&=&\frac{bk+dk}{b+d}\\ &=&\frac{(b+d)k}{b+d}\\ &=&k\\ \frac{a-c}{b-d}&=&\frac{bk-dk}{b-d}\\ &=&\frac{(b-d)k}{b-d}\\ &=&k\end{eqnarray*}$

したがって、 $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$ が成り立ちますので、この命題は真であることがわかります。

$q\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=k$ とおくと、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+c&=&(b+d)k\\ a-c&=&(b-d)k\end{array}\right.$

この２つの式から $2a=2bk,\ 2c=2dk$ が成り立ちますので、これらの式を変形すると $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ となります。

したがって、この命題は真であることがわかります。

以上から $p$ は $q$ であるための必要十分条件となります。

(2)の問題について

$p\Longrightarrow r$ の真偽を調べます。

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおくと

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}&=&\frac{b^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}}{b^{2}+d^{2}}\\ &=&\frac{(b^{2}+d^{2})k^{2}}{b^{2}+d^{2}}\\ &=&k^{2}\\ \frac{ac}{bd}&=&\frac{bk\cdot dk}{bd}\\ &=&\frac{bdk^{2}}{bd}\\ &=&k^{2}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle \frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}=\frac{ac}{bd}$ が成り立ちます。

よって、この命題は真です。

$r\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$a=2,\ b=3,\ c=3,\ d=2$ のとき

$\displaystyle \frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}=1,\ \frac{ac}{bd}=1$ ですが、 $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2}{3},\ \frac{c}{d}=\frac{3}{2}$ となり $\displaystyle \frac{a}{b}\not= \frac{c}{d}$ となっています。