必要条件・十分条件【不等式】

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

$a\gt 1$ かつ $b\gt 1$ であることは $ab+1\gt a+b$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。

今回は問題集や入試問題でよく目にする不等式に関する問題です。

頻出問題ですので是非解けるようにしておきたい問題です。

$a\gt 1$ かつ $b\gt 1 \Longrightarrow ab+1\gt a+b$ の真偽を調べます。

不等式が成り立つことを示すには右辺と左辺の差をとって、その符号が正または負であることを言えば良いです。

今回の場合は $ab+1$ と $a+b$ の差を調べてみます。以下のような計算をすると…

$\begin{eqnarray*} ab+1-(a+b)&=&ab-a-b+1\\ &=&a(b-1)-(b-1)\\ &=&(a-1)(b-1)\end{eqnarray*}$

となります。仮定は $a\gt 1$ かつ $b\gt 1$ ですので $(a-1)(b-1)\gt 0$ であることがわかります。

したがって、 $ab+1-(a+b)\gt 0$ が成り立ちますので、この式を変形すると $ab+1\gt a+b$ が成り立つことがわかります。

よって、この命題は真になります。

$ab+1\gt a+b\Longrightarrow a\gt 1$ かつ $b\gt 1$ の真偽を調べます。

$a=-1,\ b=-1$ とすると、 $ab+1=2,\ a+b=-2$ となりますので $ab+1\gt a+b$ が成り立ちます。

ところが、 $a\gt 1$ かつ $b\gt 1$ は成り立っていませんので、これが反例となります。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 $a\gt 1$ かつ $b\gt 1$ であることは $ab+1\gt a+b$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

前半の $a\gt 1$ かつ $b\gt 1\Longrightarrow ab+1\gt a+b$ を示すのが難しいかと思います。

一度この問題を解いてみないと初見で解くのは苦しいかもしれません。

後半の $ab+1\gt a+b\Longrightarrow a\gt 1$ かつ $b\gt 1$ の反例を見つけるのはそれほど難しくはないです。

$a$ と $b$ が同符号なら $ab\gt 0$ ですので、 $a$ と $b$ がともに負のとき $ab+1\gt a+b$ が成り立ちます。

このうちの1つを挙げれば命題が偽であることが示せます。

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。