マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

少なくとも1つは0・ともに0【必要条件・十分条件】

必要条件・十分条件大学入試対策

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$a,\ b$ を実数とする。

(1) $ab=0$ であることは、 $a,\ b$ のうち少なくとも一方が $0$ であるための（　）

(2) $a^{2}+b^{2}=0$ であることは、 $a,\ b$ ともに $0$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

「少なくとも一方が $0$ 」という条件と「ともに $0$ 」という条件を考えてみます。

他の証明問題でも使うことがありますのでぜひとも覚えておきたいものです。

今回の問題の解説

(1)の問題

$ab=0\Longrightarrow a,\ b$ のうち少なくとも1つが $0$ の真偽を調べます。

$a\not=0$ のとき、 $ab=0$ の両辺を $a$ で割ると $b=0$

$b\not=0$ のときも同様に $a=0$

したがって、 $ab=0$ ならば $a,\ b$ のうち少なくとも一方が $0$ という命題は真です。

$a,\ b$ のうち少なくとも一方が $0\Longrightarrow ab=0$ の真偽を調べます。

$a=0$ のとき、 $ab=0$

$b=0$ のときも $ab=0$

したがって、 $a,\ b$ のうち少なくとも一方が $0$ ならば $ab=0$ という命題は真です。

以上から、 $ab=0$ は $a,\ b$ のうち少なくとも一方が $0$ であるための必要十分条件となります。

(2)の問題

$a^{2}+b^{2}=0\Longrightarrow a,\ b$ ともに $0$ の真偽を調べます。

$a^{2}\geqq 0,\ b^{2}\geqq 0$ ですので、 $a^{2}+b^{2}=0$ のとき $a=0$ かつ $b=0$ となります。

よって、この命題は真となります。

$a,\ b$ がともに $0\Longrightarrow a^{2}+b^{2}=0$ の真偽を調べます。

$a=b=0$ ですので、 $a^{2}=0,\ b^{2}=0$ となります。

したがって、 $a^{2}+b^{2}=0$ となり、この命題は真であることがわかります。

以上から、 $a^{2}+b^{2}=0$ であることは $a,\ b$ がともに $0$ であるための必要十分条件となります。

いかがだったでしょうか？

今回の条件は数学の問題を解く上でよく使われています。

例えば、2次方程式の問題です。 $x^{2}+5x+6=0$ という方程式の解き方の一つとして、因数分解を用いる方法があります。

$\begin{eqnarray*} x^{2}+5x+6&=&0\\ (x+2)(x+3)&=&0\end{eqnarray*}$

として、解を $x=-2,\ x=-3$ と求めます。

解を求める際に $ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ であることを用いています。

また、 $(a-3)^{2}+(b+2)^{2}=0$ をみたす実数 $a,\ b$ を求めるときは $x^{2}+y^{2}=0$ ならば $x=0$ かつ $y=0$ であることを用いて $a=3,\ b=-2$ というように求めることができます。

有用な条件ですので、使いこなせるようにしておきたいですね。

　

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