マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学一般入試前期日程1日目】

入試問題必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$x,\ y$ は実数とする。

(1) $x\lt 1$ かつ $y\lt 1$ であることは $x+y\leqq 3$ であるための（　）

(2) $|x|\lt 1$ かつ $|y|\lt 1$ であることは $x^{2}+y^{2}\lt 1$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2022年常葉大学一般入試前期日程1日目で出題された問題です。

常葉大学の一般入試の数学は「数学①」と「数学②」があります。

「数学①」の出題範囲は「数学Ⅰ」と「数学A」、「数学②」の出題範囲は「数学Ⅰ」、「数学A」、「数学Ⅱ」、「数学B」となっています。

今回の問題は「数学①」と「数学②」両方で出題されていますので、数学Ⅱ・Bの知識がなくても解ける問題です。

(2)の問題は図示ができれば解くのが早いですが、図示するのに数学Ⅱの「図形と方程式」の単元の知識が必要です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $x\lt 1$ かつ $y\lt 1\Longrightarrow x+y\leqq 3$ の真偽を調べます。

$x$ と $y$ はともに $1$ より小さいので

$x+y\lt 2$

が成り立ちます。したがって、等号は成立することはありませんが $x+y\leqq 3$ は成り立ちますので、この命題は真です。

命題 $x+y\leqq 3\Longrightarrow x\lt 1$ かつ $y\lt 1$ の真偽を調べます。

$x=2,\ y=0$ は $x+y\leqq 3$ を満たしていますが、 $x\lt 1$ かつ $y\lt 1$ を満たしていませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 $x\lt 1$ かつ $y\lt 1$ であることは $x+y\leqq 3$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 $|x|\lt 1$ かつ $|y|\lt 1\Longrightarrow x^{2}+y^{2}\lt 1$ の真偽を調べます。

$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ は仮定を満たしていますが、

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

となり、結論の $x^{2}+y^{2}\lt 1$ を満たしていませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

命題 $x^{2}+y^{2}\Longrightarrow |x|\lt 1$ かつ $|y|\lt 1$ の真偽を調べます。

この命題の対偶 $|x|\geqq 1$ または $|y|\geqq 1\Longrightarrow x^{2}+y^{2}\geqq 1$ を考えてみます。

$|x|\geqq 1$ であるとき $x^{2}\geqq 1$ となりますので $x^{2}+y^{2}\geqq 1$ を満たします。

$|y|\geqq 1$ のときも同様に言えますので、この命題は真ということになります。

命題の対偶の真偽と元の命題の真偽は一致しますので、元の命題も真ということになります。

以上から、 $|x|\lt 1$ かつ $|y|\lt 1$ であることは $x^{2}+y^{2}\lt 1$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

図示をした場合は

$P=\{ (x,y)||x|\lt 1,\ |y|\lt 1\}$

$Q=\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\lt 1\}$

とおいて、集合 $P$ と集合 $Q$ の包含関係を見てみます。

青く塗っている部分が集合 $P$ を表す部分、赤く塗っている部分が集合 $Q$ を表す部分となります。

この図を見てみると $Q\subset P$ となっていますので、この図から「必要条件であるが十分条件ではない」と解答しても良いです。

いかがだったでしょうか？

今回は不等式に関する問題でした。

(1)の問題は大小比較が重要になっていきます。

(2)の問題は $x^{2}+y^{2}=1$ を満たす点を見つければ反例として挙げることができます。

数学Ⅰ・Aだけの知識だと今回の問題を解くのは少し大変かもしれません。

　

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