八戸工業大学の過去問【2023年一般入試】

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今回の問題

八戸工業大学の2023年一般入試の問題です。

今回の問題は当ブログでは初登場です。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

昨年より第1問が易しくなりましたが、他の問題が難化しています。といっても急激に難しくなっているわけではありません。計算量は昨年と同じくらいですが、「気づく」事ができるかどうかがポイントになります。さすがに旧帝大の問題よりかは易しいですが、教科書よりかは難しいかと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問1

与えられている式において、 $x$ に着目しても $y$ に着目しても次数は $2$ ですので、どちらかの文字について整理します。今回は $x$ について整理します。

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+13xy+15y^{2}-2x-10y&=&2x^{2}+(13y-2)x+15y^{2}-10y\\ &=&2x^{2}+(13y-2)x+5y(3y-2)\\ &=&(2x+3y-2)(x+5y)\end{eqnarray*}$

問2

$x$ の2次方程式 $x^{2}+(a+1)x+a+1=0$ の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D&=&(a+1)^{2}-4(a+1)\\ &=&a^{2}+2a+1-4a-4\\ &=&a^{2}-2a-3\\ &=&(a-3)(a+1)\end{eqnarray*}$

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は $D\gt 0$ ですので、この条件を満たすような $a$ の値の範囲は $a\lt -1,\ 3\lt a$ となります。

問3

放物線の式を変形（平方完成）すると

$y=(x+a)^{2}-a^{2}-1$

となります。したがって、この放物線の頂点は $(-a,-a^{2}-1)$ となります。この頂点が直線 $y=2x$ 上にあるとき

$-a^{2}-1=2\cdot (-a)$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} -a^{2}-1&=&-2a\\ a^{2}-2a+1&=&0\\ (a-1)^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

よって $a=1$ となります。

問4

求める2次関数を $y=ax^{2}+bx+c$ とおくと、点 $A(1,3),\ B(\sqrt{2},3+\sqrt{3}),\ C(10,111)$ を通りますので、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc}a+b+c&=&3\\ 2a+\sqrt{2}b+c&=&3+\sqrt{2}\\ 100a+10b+c&=&111\end{array}\right.$

を解くことになります。まともに加減法や代入法で解くとしんどいので、第2式に注目してみます。 $a=1,\ b=1,\ c=1$ は第2式の等式を満たしています。残りの2つの等式も満たすかどうかをチェックすればいいですが、これらも満たしています。したがって、この連立方程式の解は $(a,b,c)=(1,1,1)$ となります。よって、求める2次関数の式は

$y=x^{2}+x+1$

となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問1

与えられた式を変形していくと

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}{\theta }-14\sin{\theta }\cos{\theta }+49\cos^{2}{\theta }&=&0\\ (\sin{\theta }-7\cos{\theta })^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\sin{\theta }=7\cos{\theta }$ …①となります。 $\theta =90^{\circ }$ はこの等式を満たしませんので、 $\cos{\theta }\not=0$ です。ですので、等式①の両辺を $\cos{\theta }$ で割って、三角比の相互関係 $\displaystyle \frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}=\tan{\theta }$ を用いると

$\tan{\theta }=7$

となります。

問2

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると

$\begin{eqnarray*} S&=&\frac{1}{2}\times AC\times AB\times \sin{A}\\ &=&\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=&3\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

線分 $AD$ は $\angle CAB$ の二等分線なので $\angle CAD=\angle DAB=30^{\circ }$ です。 $S=\triangle ACD+\triangle ABD$ でもあるので

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times AC\times AD\times \sin{\angle CAD}+\frac{1}{2}\times AD\times AB\times \sin{\angle DAB}&=&3\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}\times 4\times AD\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3\times AD\times \frac{1}{2}&=&3\sqrt{3}\\ \frac{4}{4}AD+\frac{3}{4}AD&=&3\sqrt{3}\\ \frac{7}{4}AD&=&3\sqrt{3}\\ AD&=&\frac{12\sqrt{3}}{7}\end{eqnarray*}$