必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学奨学生入試】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$a,\ b,\ c$ は実数とする。

(1) $(a-1)(b-2)(c-6)=0$ であることは $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ であるための（　）

(2) $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0$ であることは $a+b+c=9$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

常葉大学の2022年度奨学生入試で出題された問題です。

細かいことかもしれませんが、「または」と「かつ」の意味に注意しないといけない問題です。

勘違いも起こりそうな問題ですので慎重に解いていくべきです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $(a-1)(b-2)(c-6)=0\Longrightarrow a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ の真偽を調べます。

仮定は $(a-1)(b-2)(c-6)=0$ ですので、 $a=1$ 、 $b=2$ 、 $c=6$ のうちどれか1つを満たせば良いです。

したがって、 $a=b=c=1$ は仮定の $(a-1)(b-2)(c-6)=0$ を満たしています。

ところが、結論の $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ を満たしていませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

命題 $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6\Longrightarrow (a-1)(b-2)(c-6)=0$ の真偽を調べます。

仮定より $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ を満たしますので、 $a-1=0,\ b-2=0,\ c-6=0$ を満たしています。

したがって、 $(a-1)(b-2)(c-6)=0$ をみたすので、この命題は真となります。

以上より、 $(a-1)(b-2)(c-6)=0$ は $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0\Longrightarrow a+b+c=9$ の真偽を調べます。

仮定より $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ を満たしますので

$\begin{eqnarray*} a+b+c&=&1+2+6\\ &=&9\end{eqnarray*}$

となります。よって、この命題は真となります。

命題 $a+b+c=9\Longrightarrow (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0$ の真偽を調べます。

$a=9,\ b=0,\ c=0$ は仮定の $a+b+c=9$ を満たしています。このとき

$\begin{eqnarray*} (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}&=&(9-1)^{2}+(0-2)^{2}+(0-6)^{2}\\ &=&8^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}\\ &=&64+4+36\\ &=&104\end{eqnarray*}$

となり、 $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0$ を満たしていませんので、これが反例となります。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0$ は $a+b+c=9$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

・ $(a-1)(b-2)(c-6)=0$ であることは $a=1$ または $b=2$ または $c=6$ であるための必要十分条件

・ $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0$ であることは $a=1$ かつ $b=2$ かつ $c=6$ であるための必要十分条件

であることは正しいのですが、この条件と勘違いしないように慎重に解くことが大切な問題でありました。

どんな問題でもそうですが、先走ると危険ですので、少し立ち止まって考えてみて安全な道を選んで進むのが最も良い方法かもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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