マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2023年常葉大学一般入試後期日程】

必要条件・十分条件入試問題

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

実数 $a,\ b$ に対し、条件 $p,\ q,\ r$ を

$p:-2\leqq a\leqq 1$ かつ $-1\leqq b\leqq 3$

$q:-5\leqq a-b\leqq 2$

$r:|a|-2\leqq b\leqq -|a|+2$

で定める。このとき、次の（　）に当てはまるものを「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちから1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。

今回の問題について

2023年常葉大学一般入試後期日程で出題された問題です。

今のところ大学が公表されている問題がこの年までですので、今回が常葉大学の問題ラストです。

おそらく夏前あたりに今年の問題が公表されると思いますので、もし必要条件・十分条件に関する問題が出題されていれば解いていこうと思います。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

$a-b$ の最大値と最小値を調べてみます。

$a-b$ が最大となるのは $a$ の値が一番大きく、 $b$ の値が一番小さいときで、[tex (a,b)=(1,-1)]のときです。

このときの $a-b$ の値は $2$ です。

$a-b$ が最小となるのは $a$ の値が一番小さく、 $b$ の値が一番大きいときで、 $(a,b)=(-2,3)$ のときです。

このときの $a-b$ の値は $-5$ です。

したがって、 $-5\leqq a-b\leqq 2$ を満たし、これは条件 $q$ と同じです。

<pよって、この命題は真の命題です。

命題 $q\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$a-b=-5$ は条件 $q$ を満たします。

この条件を満たすような $a$ と $b$ で条件 $p$ を満たさないものを考えてみます。

$a=-3,\ b=2$ は条件 $p$ の $-2\leqq a\leqq 1$ を満たしませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 $a,\ b$ が条件 $p$ を満たすことは、 $a,\ b$ が条件 $q$ を満たすための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 $p\Longrightarrow r$ の真偽を調べます。

$a=-2,\ b=1$ は条件 $p$ を満たしています。

ところが、|a|-2=0,\ -|a|+2=0]なので、このときの $b$ は条件 $r$ を満たしません。

よって、これが反例となりますのでこの命題は偽となります。

命題 $r\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

条件 $r$ は連立不等式

$\left\{ \begin{array}{ccc}|a|&\leqq &b+2\\ |a|&\leqq &-b+2\end{array}\right.$

と言いかえることができます。

$b=0$ に設定すると、この連立不等式の解は $-2\leqq a\leqq 2$ となりますので、 $(a,b)=(2,0)$ は条件 $r$ を満たし、条件 $p$ を満たさないものの1つです。

これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 $a,\ b$ が条件 $p$ を満たすことは、 $a,\ b$ が条件 $r$ を満たすための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

不等式に関する問題は、一見関係なさそうな条件が並んでいるように見えます。

注意深く見ていかないと、実は「必要十分条件」だったりするので命題を立てて真偽を調べていく必要があります。

反例を探す場合はどちらかの文字の値を条件を満たすように設定すると見つけやすいかと思います。

　

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