愛知工科大学の過去問【2021年工学部一般入試】

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今回の問題

愛知工科大学2021年一般入試の問題です。

今回も第1問が筆記方式、第2問以降がマーク方式の問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

割りと手応えのある問題が多いです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

図に描くと次のような感じになります。

四角形 $ABCD$ は半径 $\sqrt{21}$ の円に内接しますので、 $\triangle ABD$ もこの円に内接します。

ですので、 $\triangle ABD$ に正弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{BD}{\sin{A}}=2\sqrt{21}$

が成り立ちます。この式を変形すると

$BD=2\sqrt{21}\sin{A}$ …①

となります。 $\triangle ABD$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} BD^{2}&=&AB^{2}AD^{2}-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos{A}\\ &=&45-36\cos{A}\cdots ②\end{eqnarray*}$

が成り立ちます。①を②に代入して整理していくと

$\begin{eqnarray*} 84\sin^{2}{A}&=&45-36\cos{A}\\ 84(1-\cos^{2}{A})&=&45-36\cos{A}\\ 84\cos^{2}{A}-36\cos{A}-39&=&0\\ 28\cos^{2}{A}-12\cos{A}-13&=&0\\ (14\cos{A}-13)(2\cos{A}+1)&=&0\end{eqnarray*}$

$\angle A$ は鈍角なので $\displaystyle \cos{A}=-\frac{1}{2}$ となります。

したがって、 $\displaystyle \sin{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となりますので、 $BD=3\sqrt{7}$ となります。

四角形 $ABCD$ は円に内接しますので、向かい合う角の和は $180^{\circ }$ です。よって $\displaystyle \cos{C}=\frac{1}{2}$ となります。

$\triangle BCD$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} BD^{2}&=&BC^{2}+CD^{2}-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos{C}\\ 63&=&BC^{2}+36-6BC\\ BC^{2}-6BC-27&=&0\\ (BC-9)(BC+3)&=&0\end{eqnarray*}$

$BC\gt 0$ なので $BC=9$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

(1) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ について分母の有理化を行うと

$\begin{eqnarray*} a&=&\frac{1}{\sqrt{5}-2}\\ &=&\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}\\ &=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray*}$

となります。

$2\lt \sqrt{5}\lt 3$

ですので $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の小数部分は

$\sqrt{5}+2-4=\sqrt{5}-2$

となります。これが $a$ の値となります。

よって、 $\displaystyle \frac{1}{a}=\sqrt{5}+2$ となりますので

$\displaystyle a-\frac{1}{a}=-4$

となります。他の値については $\displaystyle a+\frac{1}{a}=2\sqrt{5}$ より

$\begin{eqnarray*} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&(a+\frac{1}{a})^{2}-2\\ &=&20-2\\ &=&18\\ a^{3}-\frac{1}{a^{3}}&=&\left( a-\frac{1}{a}\right) \left( a^{2}+a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right) &=&(-4)\times 19\\ &=&-76\end{eqnarray*}$

となります。

(2)関数 $\displaystyle y=\left( \log_{2}{\frac{x}{2}}\right) (\log_{2}{8x})$ を変形すると

$\begin{eqnarray*} y&=&(\log_{2}{x}-1)(\log_{2}{x}+3)\\ &=&(\log_{2}{x})^{2}+2\log_{2}{x}-3\end{eqnarray*}$

となります。

$t=\log_{2}{x}$ とおくと、 $x$ のとりうる値の範囲が $\displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\leqq 4$ のとき $-1\leqq t\leqq 2$ となります。

$y$ を $t$ で表すと、 $y$ は $t$ の2次関数になりますので、平方完成をすると

$y=(t+1)^{2}-4$

となります。したがって $y$ は

$t=-1$ すなわち $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-4$

$t=2$ すなわち $x=4$ のとき最大値 $5$ をとります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心ですので

$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

となります。点 $P$ は直線 $OG$ 上にあるので、 $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OG}$ となる実数 $k$ が存在します。

点 $H$ を $\triangle OAB$ の重心とすると

$\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

となります。 $\overrightarrow{HP}$ と $\triangle OAB$ が垂直であることから

$\overrightarrow{HP}\cdot \vec{a}=0$ …①

が成り立ちます。

$\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OH}$ であることから

$\displaystyle \overrightarrow{HP}=\frac{k-1}{3}\vec{a}+\frac{k-1}{3}\vec{b}+\frac{k}{3}\vec{c}$

となります。 $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{a}=1,\ \vec{b}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2},\ \vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$ と①より

$\displaystyle \frac{k}{3}-\frac{1}{3}+\frac{k}{6}-\frac{1}{6}+\frac{6}{k}=0$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\displaystyle k=\frac{3}{4}$

となりますので

$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ とすると $\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ となります。

したがって、曲線 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ 上の点 $\displaystyle A\left( a,\frac{1}{a}\right)$ における接線の方程式は

$\displaystyle y=-\frac{1}{a^{2}}(x-a)+\frac{1}{a}$

つまり

$y=-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{2}{a}$

となります。この直線が点 $\displaystyle P\left( \frac{1}{4},3\right)$ を通るとき

$\displaystyle -\frac{1}{4a^{2}}+\frac{2}{a}=3$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4a^{2}}-\frac{2}{a}+3&=&0\\ 12a^{2}-8a+1&=&0\\ (6a-1)(2a-1)&=&0\end{eqnarray*}$

したがって $\displaystyle a=\frac{1}{2},\ \frac{1}{6}$ となります。

よって、点 $P$ を通る曲線 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ の接線は

$y=-4x+4$

$y=-36x+12$

となります。これら2つの接線の交点の $x$ 座標は

$-4x+4=-36x+12$

を満たす $x$ の値なので、この方程式を解くと $\displaystyle x=\frac{1}{4}$ です。したがって

$\begin{eqnarray*} S&=&\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{4}}\left( \frac{1}{x}+36x-12\right) dx+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{x}+4x-4\right) dx\\ &=&\left[ \log{|x|}+18x^{2}-12x\right]_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{4}}+\left[ \log{|x|}+2x^{2}-4x\right]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\\ &=&\log{3}-1\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

(1)500円硬貨、100円硬貨、50円硬貨を使って1000円を支払う方法は

$500x+100y+50z=1000$

を満たすことから

$10x+2y+z=20$ …①

を満たします。 $x,\ y,\ z$ は整数なので

$0\leqq x\leqq 2$

であることがわかります。あとは①を満たす整数の組 $(x,y,z)$ が何個あるかを数えれば良いだけです。

①を満たす $(x,y,z)$ の組は

$(0,10,0),\ (0,9,2),\ (0,8,4),\ (0,7,6),\ (0,6,8),\ (0,5,10),\ (0,4,12)$

$(0,3,14),\ (0,2,16),\ (0,1,18),\ (0,0,20),\ (1,5,0),\ (1,4,2),\ (1,3,4)$

$(1,2,6),\ (1,1,8),\ (1,0,10),\ (2,0,0)$

の18通りになります。

(2)500円硬貨と100円硬貨と50円硬貨を1枚ずつ使うので

$500(X+1)+100(Y+1)+50(Z+1)=1000$

を満たします。この式を変形して

$\begin{eqnarray*} 500X+100Y+50Z&=&1000-650\\ 10X+2Y+Z&=&7\end{eqnarray*}$

(1)と同じように $(X,Y,Z)$ の組を求めると

$(0,3,1),\ (0,2,3),\ (0,1,5),\ (0,0,7)$

の4通りあります。

(3)100円硬貨3枚と50円硬貨3枚を使って支払える金額は以下の表のようになります。（横の行の枚数は50円硬貨の枚数、縦の列の枚数は100円硬貨の枚数とします）

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \ &3枚&2枚&1枚&0枚\\ \hline 3枚&450&400&350&300\\ \hline 2枚&350&300&250&200\\ \hline 1枚&250&200&150&100\\ \hline 0枚&150&100&50&0\\ \hline \end{array}$