マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2022年前期日程第3問】

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2022年文系学部前記日程第3問です。

今回の問題の原文

 f(x)=-x^{2}-2x+4|x|とする。以下の問いに答えなさい。

(1)関数 f(x)の最大値とそのときの xの値を求めなさい。

(2)座標平面上の点 (0,9)から曲線 y=f(x)に引いた接線の方程式をすべて求めなさい。

(3)曲線 y=f(x)と(2)で求めたすべての接線で囲まれた図形の面積を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

曲線と接線とで囲まれる図形の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関数に絶対値記号が含まれていますので、絶対値記号の中身の符号で場合分けを行います。

 f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -x^{2}-6x&(x\lt 0)\\ -x^{2}+2x&(x\geqq 0)\end{array}\right.

となります。この関数のグラフは以下のようになります。

このグラフから、最大値は x=-3のとき 9であることがわかります。

 (0,9)から曲線 y=f(x)に引いた接線との交点は、上のグラフから x\lt 0の部分に1か所、 x\leqq 0の部分に1か所あると考えられます。

1つは y=9です。もう1つは y=-x^{2}+2xとの接線です。

 f_{+}(x)=-x^{2}+2xとおくと、この導関数 f^{\prime }_{+}(x)=-2x+2となります。

したがって、求める接線の方程式を y=(-2t+2)(x-t)-t^{2}+2tとおくと、この直線が点 (0,9)を通りますので

 9=2t^{2}-2t-t^{2}+2t

が成り立ちます。 t\geqq 0であることに注意してこの方程式を解くと t=3となります。

よって、求める接線の方程式は y=-4x+9となります。

曲線 y=f(x)と先ほど求めた接線を図示すると次のようになります。

緑色の曲線が y=f(x)のグラフ、青色の直線が先ほど求めた接線です。

この緑色の曲線と青色の直線で囲まれる部分の面積を求めるのが最後のミッションです。

 x=0のところで接線の方程式と曲線 y=f(x)の式が変わることに注意します。

 \displaystyle \int_{-3}^{0}( 9+x^{2}+6x)dx+\int_{0}^{3}(-4x+9+x^{2}-2x)dx

 \begin{eqnarray*} \ &=&\int_{-3}^{0}(x+3)^{2}dx+\int_{0}^{3}(x-3)^{2}dx\\ \ &=&\left[ \frac{1}{3}(x+3)^{3}\right]_{-3}^{0}+\left[ \frac{1}{3}(x-3)^{3}\right] _{0}^{3}\\ \ &=&18\end{eqnarray*}

のように計算して面積を求めます。

いかがだったでしょうか?

絶対値が含まれている分、難易度が少し高いかと思います。

ですが、絶対値記号の外し方をおさえておけば今回の問題も解くことができますので、復習が必要かと思います。

東京都立大学では絶対値記号が含まれている関数が最近2〜3年に1回は出題されていますので要チェックな問題です。

 

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