マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

教員採用試験問題集のチェックテスト【微分・積分】

微分積分教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験問題集のチェックテストの問題です。

今回は微分・積分の問題です。

今回の問題の原文

関数 $y=x^{3}-4x$ について、次の問いに答えよ。

(1)点 $(0,-2)$ を通り、関数 $y=x^{3}-4x$ のグラフに接する直線の方程式を求めよ。

(2)関数 $y=x^{3}-4x$ のグラフと(1)で求めた直線で囲まれた部分の面積を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

3次関数のグラフとその接線で囲まれる部分の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

3次関数を扱う場合は、導関数を用いることがほとんどなので微分して導関数を求めておきます。導関数は

$y^{\prime }=3x^{2}-4$

です。今回の問題では接線の方程式を求めなければいけませんので、この導関数を使います。曲線 $y=x^{3}-4x$ 上の $x=t$ に対応する点における接線の方程式は

$y=(3t^{2}-4)(x-t)+t^{3}-4t$

です。この直線が点 $(0,-2)$ を通りますので

$2t^{3}-2=0$

が成り立ちますので、この方程式を解くと $t=1$ となります。これを接線の式に代入すると、求める接線の方程式は

$y=-x-2$

となります。この直線と関数 $y=x^{3}-4x$ のグラフの交点は、方程式

$x^{3}-3x+2=0$

を解くと $x=1,\ -2$ となりますので、この値が交点の $x$ 座標になります。グラフに描くと下のようになります。

したがって、求める面積は

$\displaystyle \int_{-2}^{1}(x^{3}-3x+2)dx=\left[ \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+2x\right] _{-2}^{1}$

$\displaystyle =\frac{3}{4}-(-6)=\frac{27}{4}$

となります。

いかがだったでしょうか？

接線と面積を求める基礎的な問題だったのではないかと思います。

大学入試でも同じような問題が出題される可能性があるのでチェックしておきたい問題の一つです。

　

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