マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2012年前期日程第2問】

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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。

今回は2012年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

接線と曲線で囲まれる部分の面積に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

直線 l:y=axと放物線 C:y=x^{2}-xの交点の x座標は、 xの方程式

 x^{2}-x=ax

の解になります。この方程式を解くと x=0,\ a+1となります。

したがって、直線 lと放物線 Cとの交点の座標は (0,0) (a+1,a^{2}+a)となります。

次に求めるものは、点 (0,0)における放物線 Cの接線と (a+1,a^{2}+a)における放物線 Cの接線です。

放物線 C導関数 y^{\prime }=2x-1ですので、点 (0,0)における放物線 Cの方程式は

 y=-x

となります。また、点 (a+1,a^{2}+a)における放物線 Cの接線の方程式は

 y=(2a+1)x-a^{2}-2a-1

となります。したがって、これら2つの直線の交点の座標は -x=(2a+1)x-a^{2}-2a-1を解くと \displaystyle x=\frac{a+1}{2}となりますので、 R\left( \frac{m+1}{2},-\frac{m+1}{2}\right) となります。

直線 lと放物線 Cで囲まれる部分の面積 S_{1}

 \displaystyle S_{1}=\int_{0}^{a+1}\{ -x^{2}+(a+1)x\} dx

 \displaystyle =\frac{1}{6}(a+1)^{3}

 \triangle PQRの面積は、 \displaystyle P(0,0),\ Q\left( \frac{a+1}{2},-\frac{a+1}{2}\right) として考えると

 \displaystyle \overrightarrow{PQ}=(a+1,a^{2}+a)=(a+1,a(a+1)),\ \overrightarrow{PR}=\left( \frac{a+1}{2},-\frac{a+1}{2}\right)

となりますので、 \triangle PQRの面積 S_{2}

 \displaystyle S_{2}=\frac{1}{2}|\frac{(a+1)^{2}}{2}+\frac{m(m+1)^{2}}{2}|

 \displaystyle =\frac{1}{4}(a+1)^{3}

よって \displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2}{3}となります。

いかがだったでしょうか?

接線の方程式を求める問題と直線と放物線で囲まれる部分の面積を求める問題は基礎問題です。

三角形の面積についてはベクトルを用いて求めましたが、直線と点との距離の公式を用いて解くのもアリです。

最後の \displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}のような値を求める問題は国公立ではよく見かける問題ですので、慣れておきたい問題の1つです。

 

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