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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。
今回は2012年文系学部前期日程第2問です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
接線と曲線で囲まれる部分の面積に関する問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
直線と放物線の交点の座標は、の方程式
の解になります。この方程式を解くととなります。
したがって、直線と放物線との交点の座標はととなります。
次に求めるものは、点における放物線の接線とにおける放物線の接線です。
放物線の導関数はですので、点における放物線の方程式は
となります。また、点における放物線の接線の方程式は
となります。したがって、これら2つの直線の交点の座標はを解くととなりますので、となります。
直線と放物線で囲まれる部分の面積は
の面積は、として考えると
となりますので、の面積は
よってとなります。
いかがだったでしょうか?
接線の方程式を求める問題と直線と放物線で囲まれる部分の面積を求める問題は基礎問題です。
三角形の面積についてはベクトルを用いて求めましたが、直線と点との距離の公式を用いて解くのもアリです。
最後ののような値を求める問題は国公立ではよく見かける問題ですので、慣れておきたい問題の1つです。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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