必要条件・十分条件の問題【2018年東京都教員採用試験】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

(1) $a+b,\ ab$ がともに有理数であることは $a$ と $b$ がともに有理数であるための（　）

(2) $a+b,\ ab$ がともに無理数であることは $a$ と $b$ がともに無理数であるための（　）

2018年東京都教員採用試験で出題された問題です。

必要条件・十分条件の問題でよく出る数の演算に関する問題です。

次の2つの命題の真偽を調べます。

・ $a+b,\ ab$ がともに有理数 $\Longrightarrow a,\ b$ がともに有理数

・ $a,\ b$ がともに有理数 $\Longrightarrow a+b,\ ab$ がともに有理数

前者の命題は $a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ が反例となりますので、偽の命題です。

後者の命題は真の命題です。

以上から、 $a+b,\ ab$ がともに有理数であることは $a,\ b$ がともに有理数であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

次の2つの命題の真偽を調べます。

・ $a+b,\ ab$ がともに無理数 $\Longrightarrow a,\ b$ がともに無理数

・ $a,\ b$ がともに無理数 $\Longrightarrow a+b,\ ab$ がともに無理数

前者の命題については $a=\sqrt{2},\ b=1$ のとき、

$a+b=\sqrt{2}+1,\ ab=\sqrt{2}$

で、ともに無理数ですが、 $b$ は無理数ではありませんのでこれが反例となります。

したがって、この命題は偽です。

後者の命題については $a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ のとき、 $a$ と $b$ はともに無理数ですが

$a+b=0,\ ab=2$

で、 $a+b,\ ab$ どちらも無理数ではありませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $a+b,\ ab$ がともに無理数であることは $a$ と $b$ ともに無理数であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

このタイプの問題は命題を立てて反例を見つけるほうが早そうです。

$a$ と $b$ がともに無理数で $a+b$ と $ab$ がともに無理数でない例を覚えておくと良いと思います。

そうしておくと、問題を見ただけで必要十分条件ではなさそうであることはわかるようになってきます。

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