必要条件・十分条件の問題【2018年大阪府教員採用試験】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1)四角形 $ABCD$ について、四角形 $ABCD$ が正方形であることは $AB=BC=CD=DA$ であるための（　）

(2) $n$ 角形 $P$ について、 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満であることは $n=4$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」

今回の問題について

2018年大阪府教員採用試験で出題された問題です。

必要条件・十分条件の問題は前回のものと合わせて3問出題されました。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題「四角形 $ABCD$ が正方形 $\Longrightarrow AB=BC=CD=DA$ 」の真偽を調べます。

正方形の性質として

・すべての辺の長さが等しい

というものがあります。

この性質から $AB=BC=CD=DA$ であることが言えますので、この命題は真です。

命題「 $AB=BC=CD=DA\Longrightarrow$ 四角形 $ABCD$ は正方形」の真偽を調べます。

すべての角の大きさが $90^{\circ }$ ではないひし形は $AB=BC=CD=DA$ を満たしていますが、この図形は正方形ではありません。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、四角形 $ABCD$ が正方形であることは $AB=BC=CD=DA$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題「 $n$ 角形 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満 $\Longrightarrow n=4$ 」の真偽を調べます。

正五角形の1つの内角の大きさは

$\{ 180^{\circ }\times (5-2)\} \div 5=108^{\circ }$

ですので、仮定を満たしていますが $n=5$ ですので、結論を満たしていません。

したがって、この命題は偽です。

命題「 $n=4\Longrightarrow n$ 角形 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満」の真偽を調べます。

以下の図形は四角形です。

この図形において、 $\angle BCD$ は $180^{\circ }$ より大きいので、この図形が反例となります。

よって、この命題は偽です。

以上から、 $n$ 角形 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満であることは $n=4$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

前回の問題と合わせて3問とも図形に関する問題でした。

図形の問題は図形の性質を熟知しておかないと解くのが難しい場合があります。

一度三角形や四角形の図形の性質をまとめておくのが良いかもしれませんね。

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