図形の合同と相似【必要条件・十分条件】

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

2つの三角形 $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ について

$\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ であることは $\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のいずれが適するか。

数学にはいわゆる強い条件というものがあります。

例えば関数でいうと微分可能な関数は必ず連続関数になります。

あまり意識されていないかもしれませんが、中学で習った図形の合同と図形の相似でも同じことが言えて、2つの図形が合同であれば、必ず相似な図形になります。（相似比を $1:1$ と扱うとわかりやすいかと思います）

それを検証してみようというのが今回の問題です。

今回も命題を作って、その命題の真偽を調べる方法で考えていきます。

$\triangle ABC\equiv \triangle DEF\Longrightarrow \triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$ の真偽を調べます。

$\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ ならば、合同な図形の対応する辺の長さが等しいので

$AB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD$

が成り立ちます。このとき

$AB:DE=BC:EF=CA:FD=1:1$

が成り立ちます。これは3組の辺の比がそれぞれ等しいことが言えてますので $\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$ となります。

したがって、この命題は真です。

$\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF\Longrightarrow \triangle ABC\equiv \triangle DEF$ の真偽を調べます。

$AB=BC=CA=1$ の $\triangle ABC$ と $DE=EF=FD=2$ の $\triangle DEF$ について考えてみます。

この2つの三角形は $AB:DE=BC:EF=CA:FD=1:2$ が成り立ちますので、 $\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$ となります。

ところが、この2つの三角形は合同な図形ではありません。

したがって、この命題は偽ということになります。

以上から、 $\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ であることは $\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

合同な図形を相似比 $1:1$ の図形と考えれば相似な図形になることは明らかです。

逆に相似な図形は合同な図形になるとは限らないということも中学で習ったかと思います。

わかっていることをあえて証明することは大変ですが、理解は深まりますのでチャレンジしてみると良いかもしれません。

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。