2つの数の符号【必要条件・十分条件】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

(1) $a,\ b$ が同符号であることは $ab\gt 0$ であるための（　）

(2) $a,\ b$ が異符号であることは $ab\lt 0$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」それぞれどれが適するか。

2つの数の符号が同じか異なるかを考えることは数学の問題を解く上で重要になることがあります。

例えば、2次方程式 $x^{2}-5x-6=0$ について、2次方程式の解と係数の関係から、この2次方程式の解を $\alpha,\ \beta$ とすると $\alpha \beta =-6\lt 0$ となります。

この2次方程式を解いてみると

$\begin{eqnarray*} x^{2}-5x-6&=&0\\ (x+1)(x-6)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $x=-1$ と $x=6$ がこの2次方程式の解です。

この結果からこの2次方程式の2つの解の符号が異なっていることがわかります。

このようなことが起こるのが「偶然」か「必然」かを考えてみるのが今回の問題です。

もしも(2)の問題の結果が「必要十分条件」であれば、この現象が「必然」だった、そうでなければ「偶然」だったということになります。

以下で今回の問題について考えていきます。

今回は2問同時に考えていきたいと思います。

(1)の問題は

(a) $a$ と $b$ が同符号 $\Longrightarrow ab\gt 0$

(b) $ab\gt 0\Longrightarrow a$ と $b$ が同符号

の2つの命題の真偽を、(2)の問題は

(d) $ab\lt 0\Longrightarrow a$ と $b$ が異符号

の2つの命題の真偽を調べる方法で解いていきますが、(a)と(d)、(b)と(c)が対偶になっていますので(a)と(c)の命題の真偽を考えると(1)と(2)の問題が解決されます。

数の計算において

（正） $\times$ （正） $=$ （正）

（負） $\times$ （負） $=$ （正）

（正） $\times$ （負） $=$ （負）

（負） $\times$ （正） $=$ （負）

となりますので、この結果から $a,\ b$ が同符号 $\Longrightarrow ab\gt 0$ 、 $a,\ b$ が異符号 $\Longrightarrow ab\lt 0$ の2つの命題の真偽は真となります。

したがって、 $a,\ b$ が同符号であることは $ab\gt 0$ であるための必要十分条件、 $a,\ b$ が異符号であることは $ab\lt 0$ であるための必要十分条件であることがわかります。

この結果から、「今回の問題について」で考えた例で起こったことは必然だったということがわかりました。

今回の問題の条件を使えば、2つの数自体がわからなくても符号が同じかどうかを確かめることができます。

よく使う条件ですので、結果だけでも覚えておくと良いと思います。

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