マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件【3つの条件式】

必要条件・十分条件大学入試対策

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

次の条件を考える。

$p:x+y=1$

$q:x^{2}+y^{2}+1=2(x+y-xy)$

$r:x^{2}+y^{2}=1-2xy$

(1) $p$ は $q$ であるための（　）

(2) $p$ は $r$ であるための（　）

(3) $p$ は $q$ かつ $r$ であるための（　）

（　）の中には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

３つの条件式についての必要条件・十分条件の問題です。

必要十分条件に見えなくもなさそうですが、慎重に判別しないと減点を食らってしまうので気をつけておかなければいけない問題です。

このタイプの問題は命題を作って、真偽を調べる方法で解くと良いかもしれません。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

$x+y=1$ のとき

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+1-2(x+y-xy)&=&x^{2}+y^{2}+1-2x-2y+2xy\\ &=&(x+y)^{2}-2(x+y)+1\\ &=&1^{2}-2+1\\ &=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、この命題は真です。

$q\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$q$ の条件式を変形すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+1&=&2(x+y-2xy)\\ x^{2}+y^{2}+1-2(x+y-xy)&=&0\\ (x+y)^{2}-2(x+y)+1&=&0\\ \{ (x+y)-1\} ^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、 $x+y=1$ ということがわかりますので、この命題は真です。

以上より、 $p$ は $q$ であるための必要十分条件です。

(2)の問題について

$p\Longrightarrow r$ の真偽を調べます。

$x+y=1$ ならば

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}-(1-2xy)&=&x^{2}+y^{2}-1+2xy\\ &=&(x+y)^{2}-1\\ &=&1^{2}-1\\ &=&0\end{eqnarray*}$

となりますので $x^{2}+y^{2}=1-2xy$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真です。

$r\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

条件 $r$ より

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+2xy&=&1\\ (x+y)^{2}&=&1\\ x+y&=&\pm 1\end{eqnarray*}$

となります。このことから $x+y=-1$ を満たす $x,y$ も条件 $r$ を満たします。

ところが、 $x+y=-1$ は条件 $p$ を満たしませんので、 $x+y=-1$ を満たす $x,y$ が反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から $p$ は $r$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

(3)の問題について

$p\Longrightarrow qかつr$ の真偽については、(1)と(2)より命題 $p\Longrightarrow q$ と命題 $p\Longrightarrow r$ の真偽がともに真ですので、命題 $p\Longrightarrow qかつr$ も真であることがわかります。

$qかつr\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

このとき、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}+y^{2}+1&=&2(x+y-xy)\\ x^{2}+y^{2}&=&1-2xy\end{array}\right.$

が成り立ちます。

この２つの式の辺々を引いて整理すると $2(x+y)=2$ が得られますので、 $x+y=1$ であることがわかります。

したがって、この命題は真です。

以上から $p$ は $q$ かつ $r$ であるための必要十分条件であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

見た目は $p$ 、 $q$ 、 $r$ は同じような条件に見えますが、(2)から $p$ は $r$ の必要十分条件ではありませんでした。

命題を作って真偽を確かめると反例が出る場合があります。

反例が見つけにくい場合は証明を試みてみると見つかるかもしれません。

　

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