マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220801

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今週は東京未来大学2018年の問題です。

今回は1日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

集合の要素を数える問題と必要条件・十分条件の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)集合の要素を数える問題ですが、次のように要素を書き並べると簡単に数え上げることができます。

 A=\{ 3\times 1,3\times 2,3\times 3,\cdots ,3\times 66\}

 B=\{ 4\times 1,4\times 2,4\times 3,\cdots ,4\times 50\}

 C=\{ 5\times 1,5\times 2,5\times 3,\cdots ,5\times 40\}

となりますので、 n(A)=66,n(B)=50,n(C)=40となります。

同じように集合 A\cap B,B\cap C,C\cap A,A\cap B\cap Cの要素の個数を数えていきます。

 200=12\times 16+8=20\times 10=15\times 13+5=60\times 3+20ですので

 A\cap B=\{ 12\times 1,12\times 2,12\times 3,\cdots ,12\times 16\}

 B\cap C=\{ 20\times 1,20\times 2,20\times 3,\cdots ,20\times 10\}

 C\cap A=\{ 15\times 1,15\times 2,15\times 3,\cdots 15\times 13\}

 A\cap B\cap C=\{ 60\times 1,60\times 2,60\times 3\}

となります。したがって、 n(A\cap B)=16,n(B\cap C)=10,n(C\cap A)=13,n(A\cap B\cap C)=3となります。

 n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)ですので、 n(A\cup B\cup C)=120となります。

(2)「対角線が直交するならば四角形は正方形」とは限りませんので、この命題は偽です。

一方、この命題の逆の「四角形が正方形ならば対角線は直交する」は、正方形がひし形であるため真です。

よって、対角線が直交することは四角形が正方形であるための必要条件であるが十分条件ではないということになります。

 \angle ABC=\angle BCAならば \triangle ABC二等辺三角形である」という命題は、三角形の内角のうち2つが等しいので真です。

この命題の逆の「 \triangle ABC二等辺三角形ならば \angle ABC=\angle BCAである」は反例として \angle ABC=\angle CAB=30^{\circ }二等辺三角形がありますので偽です。

したがって、 \angle ABC=\angle BCA \triangle ABC二等辺三角形であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

いかがだったでしょうか?

今回は珍しく集合からの出題でした。

あまりにも基本的なことなので出題されないのでしょうか?

ですが、出題範囲が数学Ⅰと数学Aのみの試験では出題される可能性がありますので油断は禁物です。

 

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