マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数と和・積【必要条件・十分条件】

大学入試対策数と式必要条件・十分条件

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$a,\ b$ は複素数とする。次の条件を考える。

$Z:a,\ b$ がともに整数

$Q:a,\ b$ がともに有理数

$R:a,\ b$ がともに実数

$A_{Z}:a+b$ が整数　 $B_{Z}:ab$ が整数

$A_{Q}:a+b$ が有理数　 $B_{Q}:ab$ が有理数

$A_{R}:a+b$ が実数　 $B_{R}:ab$ が実数

(1) $Z$ は $A_{Z}$ であるための（　）

(2) $Z$ は $A_{Z}$ かつ $B_{Z}$ であるための（　）

(3) $Q$ は $A_{Q}$ かつ $B_{Q}$ であるための（　）

(4) $R$ は $A_{R}$ かつ $B_{R}$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」それぞれどれが適するか。

今回の問題について

整数の和と積が整数になるのはよく知られた事実ですが、ある2つの数の和と積が整数ならば、果たしてその2つの数それぞれが整数になるのか？

というところを考えるための問題です。

数の集合を広げて有理数や実数のときはどうだろうか？というのも考えてみました。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$Z\Longrightarrow A_{Z}$ の真偽を調べます。

2つの整数の和は整数となりますので、この命題は真です。

$A_{Z}\Longrightarrow Z$ の真偽を調べます。

$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{2}$ のとき、 $a+b=1$ で整数ですが、 $a,\ b$ それぞれが整数でありませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 $Z$ は $A_{Z}$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

(2)の問題について

$Z\Longrightarrow A_{Z}$ かつ $B_{Z}$ の真偽を調べます。

2つの整数の和と積は整数となりますので、この命題は真です。

$A_{Z}$ かつ $B_{Z}\Longrightarrow Z$ の真偽を調べます。

$\displaystyle a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ のとき、 $a+b=0,\ ab=-2$ で整数ですが、 $a,\ b$ それぞれが整数でありませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 $Z$ は $A_{Z}$ かつ $B_{Z}$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

(3)の問題について

$Q\Longrightarrow A_{Q}$ かつ $B_{Q}$ の真偽を調べます。

2つの有理数の和と積は有理数となりますので、この命題は真です。

$A_{Q}$ かつ $B_{Q}\Longrightarrow Q$ の真偽を調べます。

$\displaystyle a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ のとき、 $a+b=0,\ ab=-2$ で有理数ですが、 $a,\ b$ それぞれが有理数でありませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 $Q$ は $A_{Q}$ かつ $B_{Q}$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

(4)の問題について

$R\Longrightarrow A_{R}$ かつ $B_{R}$ の真偽を調べます。

2つの実数の和と積は実数となりますので、この命題は真です。

$A_{R}$ かつ $B_{R}\Longrightarrow R$ の真偽を調べます。

$\displaystyle a=i,\ b=-i$ のとき、 $a+b=0,\ ab=1$ で実数ですが、 $a,\ b$ それぞれが実数でありませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 $R$ は $A_{R}$ かつ $B_{R}$ であるための十分条件であるが必要条件ではないということになります。

いかがだったでしょうか？

整数の和が整数であること、有理数、実数の和と積がそれぞれ有理数、実数になることはすぐに分かることだろうと思います。

ですが、逆が成り立たないことには要注意です。

今回のような問題は定期テストや入試問題で問われる可能性がありますので、注意深く命題の真偽を調べることが大切です。

　

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