共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編【図形の性質】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。

今回は図形の性質の問題です。

今回の問題の原文

(1)三角形の外心、内心、重心、垂心の定義を述べよ。

(2)三角形の外心を $O$ 、内心を $I$ 、外接円の半径を $R$ 、内接円の半径を $r$ とするとき

$OI^{2}=R^{2}-2Rr$

であることを示せ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角形の外心、内心、重心、垂心の定義を復習するための問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

外心は三角形の3本の垂直二等分線の交点、内心は三角形の3本の角の二等分線の交点、重心は三角形の角から向かいの辺の中点を結んだものの交点、垂心は三角形の頂点から向かいの辺に下ろした3本の垂線の交点です。外心はそこを中心にして三角形の3つの頂点を通る円が、内心はそこを中心として三角形のすべての辺に接する円を書くことができます。これらの特徴をおさえた上で図形の問題を解いていきます。

図を参考にすると、方べきの定理より $AI\cdot DI=MI\cdot NI$ となります。線分 $MN$ は円 $O$ の直径ですので、円 $O$ の半径を $R$ とすると $MI=R+OI$ 、 $NI=R-OI$ となります。したがって、 $AI\cdot DI=R^{2}-OI^{2}$ となります。

$\triangle BDF$ と $\triangle EIA$ は直角三角形で、円周角の定理により相似になります。このことより $FD:AI=BD:EI$ となります。 $\triangle ABC$ の内接円を $r$ とすると、 $FD=2R,\ EI=r$ ですので、比例計算により $AI\cdot BD=2Rr$ となります。 $BD=DI$ が言えれば $AI\cdot ID=2Rr$ となりますが、点 $I$ は $\triangle ABC$ の内心ですので円周角の定理と合わせると $\angle IBD=\angle BID$ であることがわかります。よって $BD=DI$ が言えます。よって、 $2Rr=R^{2}-OI^{2}$ ですので $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ となります。