共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編【整数の性質】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。

今回は整数の性質です。

今回の問題の原文

$a,\ b,\ c$ を $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たす自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $a,\ b$ のうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。

(2) $a,\ b,\ c$ のうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ。

(3)(1)と(2)を用いて $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たす $(a,b,c)$ の組を2つ挙げよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ピタゴラス数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

余りの性質に焦点を当てて問題を作成しました。合同式の性質といえばわかるでしょうか。 $A=B$ が成り立つとき、 $A$ も $B$ 同じ数で割った余りが等しいということを使います。

まずは最初の問題「 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ をみたす自然数 $a,\ b,\ c$ について $a,\ b$ のうち少なくとも一方は3の倍数である」ことを余りの性質を使って証明します。この等式において出てくる自然数は平方数ですので、平方数を3で割った余りがいくらになるかを考えます。

自然数 $n$ を次の場合に分けて考えてみます。 $k$ は自然数とします。

・ $n=3k$ のとき、 $(3k)^{2}=3\times 3k^{2}$ となりますので、この数の2乗は3の倍数です。

・ $n=3k+1$ のとき

$\begin{eqnarray*} (3k+1)^{2}&=&9k^{2}+6k+1\\ &=&3(3k^{2}+2k)+1\end{eqnarray*}$

となりますので、この数の2乗は3で割ると1余ります。

・ $n=3k+2$ のとき

$\begin{eqnarray*} (3k+2)^{2}&=&9k^{2}+12k+4\\ &=&3(3k^{2}+4k+1)+1\end{eqnarray*}$

となりますので、この数の2乗は3で割ると1余ります。

したがって、自然数を3で割った余りでグループ分けをすると上で場合分けした3つの場合のどれかになりますので、平方数を3で割った余りは0か1ということになります。しかも、上の計算を見てみると、 $n$ が3の倍数ではないとき $n^{2}$ を3で割った余りが1であることがわかります。ということは、 $a$ と $b$ がともに3の倍数でなければ $a^{2}+b^{2}$ を3で割った余りは $1+1=2$ となります。ところが、 $c^{2}$ を3で割った余りは先ほどの考察より0か1ですので $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たすことはないということがわかります。この結果から「 $a$ と $b$ はともに3の倍数ではない」ということではないことがわかりましたので、これを言い換えると $a$ と $b$ のうち少なくとも1つは3の倍数であるということになります。

2問目の問題は「 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たす自然数 $a,\ b,\ c$ のうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ」というものです。この問題も先ほどと同じように5で割った余りで自然数をグループ分けをして考えていきます。先程と同じく $k$ を整数とします。

・ $n=5k$ のとき $(5k)^{2}=5\times 5k^{2}$ となりますので、この数の2乗は5で割り切れます。

・ $n=5k+1$ のとき

$\begin{eqnarray*} (5k+1)^{2}&=&25k+10k+1\\ &=&5(5k^{2}+2k)+1\end{eqnarray*}$

となりますので、この数の2乗は5で割ると1余ります。

・ $n=5k+2$ のとき

$\begin{eqnarray*} (5k+2)^{2}&=&25k+20k+4\\ &=&5(5k^{2}+4k)+4\end{eqnarray*}$

となりますので、この数の2乗を5で割ると4余ります。

・ $n=5k+3$ のとき

$\begin{eqnarray*} (5k+3)^{2}&=&25k+30k+9\\ &=&5(5k^{2}+6k+1)+4\end{eqnarray*}$

となりますので、この数の2乗を5で割ると4余ります。

・ $n=5k+4$ のとき

$\begin{eqnarray*} (5k+4)^{2}&=&25k+40k+16\\ &=&5(5k^{2}+8k+3)+1\end{eqnarray*}$

となりますので、この数の2乗を5で割ると1余ります。

したがって、平方数を5で割った余りは0か1か4となります。しかも、上の計算から5ではない倍数の自然数の2乗を5で割ったときの余りは1または4です。ここで、 $a,\ b,\ c$ が全て5の倍数ではないと仮定します。そうすると $a^{2}+b^{2}$ を5で割った余りは $0,\ 2,\ 3$ のいずれかになります。一方、 $c^{2}$ で割ったときの余りは $1,\ 4$ のいずれかです。よって、 $a^{2}+b^{2}$ を5で割ったときの余りと $c^{2}$ を5で割ったときの余りが一致しませんので $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ となる自然数 $a,\ b,\ c$ は存在しないことがわかります。