徳島県教員採用試験の問題【2007年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2007年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題の第3問です。

今回の問題の原文

$\angle AOB=90^{\circ },\ OA=4,\ OB=3$ の直角三角形 $OAB$ がある。 $\triangle OAB$ の内心を $I$ とし、線分 $OI$ の $I$ を超える延長が $\triangle OAB$ の外接円と交わる点を $P$ とする。また、 $\angle OAB$ の外角の二等分線と線分 $OP$ の $P$ を超える延長が交わる点を $Q$ とする。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表しなさい。

(2) $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

図形の性質を用いてベクトルを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

問題文を図に表すと次のようになります。

$\triangle OAB$ は直角三角形ですので、三平方の定理を用いることができます。 $OA=4,\ OB=3$ ですので、 $AB=5$ です。円周角の定理より、 $\triangle OAB$ の外接円の直径はこの直角三角形の斜辺となりますので、半径は $\displaystyle \frac{5}{2}$ となります。

ここから $OP$ の長さを求めてみます。 $\triangle OAP$ も同じ円に内接していますので、正弦定理より

$\displaystyle \frac{OP}{\sin{\angle OAP}}=5$

が成り立ちます。この時点で $OP$ の長さも $\sin{\angle OAP}$ の値もわかりません。しかし、 $\sin{\angle OAP}$ の長さを求める手段は存在します。直線 $OI$ は $\angle AOB$ の二等分線ですので、 $\angle BOP=45^{\circ }$ です。また、円周角の定理より $\angle BOP=\angle PAB$ ですので $\angle PAO=\angle OAB+45^{\circ }$ となります。 $\displaystyle \sin{\angle OAB}=\frac{3}{5},\ \cos{\angle OAB}=\frac{4}{5}$ であることを用いると、三角関数の加法定理により

$\begin{eqnarray*}\sin{\angle OAP}&=&\sin{(\angle OAB+45^{\circ })}\\ &=&\sin{\angle OAB}\cos{45^{\circ }}+\cos{\angle OAB}\sin{45^{\circ }}\\ &=&\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\\ &=&\frac{7\sqrt{2}}{10}\end{eqnarray*}$

となります。したがって、正弦定理より $\displaystyle OP=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ になります。

直線 $OI$ と辺 $AB$ の交点を $D$ とするとき、 $OD$ の長さも求めてみます。この長さと $\overrightarrow{OD}$ が求められれば、 $\overrightarrow{OP}$ を求めることができます。 $\triangle OAB$ の面積が $6$ ですので、 $AD:DB=4:3$ であることを用いると $\displaystyle OD=\frac{12\sqrt{2}}{7}$ となります。よって $\displaystyle OP=\frac{49}{24}OD$ となります。

点 $D$ は辺 $AB$ を $4:3$ に内分しますので $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$ となります。したがって $\overrightarrow{OP}=\frac{7}{8}\overrightarrow{OA}+\frac{7}{6}\overrightarrow{OB}$ となります。