マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2022年中高共通第2問】

図形と計量・図形の性質教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2022年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文（記述式）

頂角 $A$ が $36^{\circ }$ 、底辺 $BC$ の長さが $1$ の二等辺三角形 $ABC$ がある。底角 $B$ の二等分線が辺 $AC$ と交わる点を $D$ とするとき、次の問いに答えなさい。

(1) $\triangle ABC$ と $\triangle BCD$ が相似であることを証明しなさい。

(2)線分 $AB$ 、線分 $CD$ の長さを求めなさい。

(3)次の図を用いて、 $\sin{18^{\circ }},\ \cos{36^{\circ }}$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

$18^{\circ }$ と $36^{\circ }$ の三角比の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle ABC$ と $\triangle BCD$ が相似であることの証明

$\triangle ABC$ と $\triangle BCD$ において

$\triangle ABC$ は頂角 $A$ が $36^{\circ }$ の二等辺三角形であるので $\angle ABC=72^{\circ }$

直線 $BD$ は $\angle ABC$ の二等分線なので $\angle DBC=36^{\circ }$ したがって $\angle CAB=\angle DBC$ …①

また、 $\angle ACB=72^{\circ }$ より、三角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることより $\angle CDB=72^{\circ }$ したがって $\angle BCA=\angle CDB$ …②

①、②より2組の角がそれぞれ等しいので $\triangle ABC$ ∽ $\triangle BCD$

$AB$ と $CD$ の長さ

先ほどの証明から

$BC:CD=AB:BC$ …③

が成り立ちます。 $CD=x$ とおくと、 $\triangle ABD$ は $AD=BD$ の二等辺三角形で、 $\triangle BCD$ は $BC=BD$ の二等辺三角形ですので $AD=BC=1$ です。したがって、辺 $AB$ の長さは $1+x$ となります。よって、③より

$1:x=(1+x):1$

が成り立ちます。この方程式を解くと、 $x\gt 0$ ですので $\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ となります。辺 $AB$ と辺 $CD$ の長さは

$\displaystyle AB=\frac{\sqrt{5}+1}{2},\ CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

となります。

$\sin{18^{\circ }}$ と $\cos{36^{\circ }}$ の値

点 $B$ から辺 $CD$ に垂線を下ろし、その交点を $E$ とすると、 $\triangle BCE$ は斜辺が $BC$ の直角三角形になりますので

$\displaystyle \sin{18^{\circ }}=\frac{CE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

となります。また、点 $D$ から辺 $AB$ に下した垂線を $DF$ とすると、 $\triangle ADF$ は斜辺が $AD=1$ の直角三角形になり、 $\displaystyle AF=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ であるので、

$\displaystyle \cos{36^{\circ }}=\frac{AF}{AD}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

$18^{\circ }$ と $36^{\circ }$ の三角比の値を図を用いて求める問題でした。

このタイプの問題は試験問題で出題されることがよくあるのでマークしておきたい問題であります。

同じような問題で $15^{\circ }$ の三角比の値を求める問題がありますので、明日はその問題を出題します。

　

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