東京女子大学の問題ver.20220901 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2016年の問題です。

今回は文系学部2日目第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

正弦定理と余弦定理を使う問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

三角形の外接円の半径が与えられているときは正弦定理を用いて辺の長さを求めます。

$\displaystyle \cos{A}=\frac{1}{3}$ であるので、三角比の相互関係より $\displaystyle \sin{A}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ であることが求められます。

$\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}=2\times 2$

この式から $\displaystyle BC=\frac{8\sqrt{2}}{3}$ となります。

$\triangle ABC$ は $AB=CA$ の二等辺三角形であるので、 $AB=x$ とおいて余弦定理を用いると

$BC^{2}=x^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot x\cdot \cos{A}$

$\displaystyle \frac{128}{9}=\frac{4}{3}x^{2}$

$x\gt 0$ であるので $\displaystyle x=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ となります。

最終的に四角形 $BAOC$ の面積を求めるのですが、図に表すと以下のようになります。

赤い部分の面積が求める面積になります。

四角形 $BAOC$ の面積は $\triangle ABC$ の面積から $\triangle AOC$ の面積を引けば良いので、これら2つの三角形の面積を求められればこの問題が解決されます。

まず、 $\triangle ABC$ の面積ですが、 $AB,\ AC$ の長さと $\sin{A}$ の値がここまででわかっていますので、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{6}}{3}\times \frac{4\sqrt{6}}{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{32\sqrt{2}}{9}$

と求めることができます。

$\triangle AOC$ の面積を求めるためには、 $OA$ と $OC$ は $\triangle ABC$ の外接円の半径なので、長さは2、 $\displaystyle AC=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ であるので $\triangle AOC$ の3辺の長さがわかっている状況です。