マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2022年中高共通第2問の類題】

図形と計量・図形の性質

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2022年徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問の類題です。

今回の問題の原文（記述式）

$\angle C=90^{\circ },\ AB=2,\ BC=\sqrt{3},\ CA=1$ である直角三角形を用いて $\sin{15^{\circ }}$ と $\cos{15^{\circ }}$ の値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

$15^{\circ }$ の三角比の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$15^{\circ }$ を作る

$30^{\circ }$ の角を半分にして $15^{\circ }$ の角を作ります。次のような図になります。

$AB=2,\ BC=\sqrt{3}$ ですので、点 $D$ は辺 $AC$ を $2:\sqrt{3}$ に内分します。したがって

$\displaystyle CD=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\times 1=2\sqrt{3}-3$

となります。 $\triangle ACD$ は直角三角形ですので、三平方の定理を用いると

$BD=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$

であることが求められます。よって、三角比の定義より

$\begin{eqnarray*} \sin{15^{\circ }}&=&\frac{CD}{BD}\\ &=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{eqnarray*}$

と求めることができます。同じようにして $\displaystyle \cos{15^{\circ }}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

$15^{\circ }$ の三角関数の値は半角の公式を使えば容易に求めることができます。

ですが、三角関数を知らない人に対して説明をする場合は半角の公式は使えません。

1つの問題に対して複数の解答を用意しておくのも場合によっては有効かもしれません。

　

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