マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編まとめ

2次関数三角関数場合の数と確率大学入試対策

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は共通テスト前の確認です。

今回は数学Ｉ＋Ａのまとめです。

今回の問題の原文

(1)2辺の長さの和が $20$ で、その間の角の大きさが $60^{\circ }$ である三角形を考える。この三角形の面積の最大値を求めよ。

　

(2) $y=3\cos^{2}{\theta }+2\sin{\theta }+1\ (0^{\circ }\leqq \theta 180^{\circ })$ の最大値と最小値を求めよ。

　

(3) $\triangle ABC$ において、 $BC=a,\ AC=c,\ \angle ABC=\theta$ とし、 $a,c,\theta$ の値を以下のように定める。

・さいころを2回振り、でた目を順に $a,c$ とする。

・コインを同時に $6$ 枚投げ、表が出た枚数を $n$ とするとき、 $\theta =(30n)^{\circ }$ とする。

このとき、 $\triangle ABC$ が直角三角形になる確率、正三角形になる確率および面積が整数になる確率をそれぞれ求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次関数、三角関数、確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)三角形の面積は三角形の2辺とその間の角の大きさまたは $\sin$ の値がわかれば求めることができます。2辺の和が $20$ ですので、一方を $x$ とおくと他方は $20-x$ となります。 $\displaystyle \sin{60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ですので、この三角形の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times x(20-x)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(-x^{2}+20x)$

となります。 $-x^{2}+20x=-(x-10)^{2}+100$ ですので、この三角形の面積の最大値は $x=10$ のとき $25\sqrt{3}$ ということになります。

　

(2)三角比の相互関係を使って $y$ を $\sin{\theta }$ だけの式で表します。

$y=-3\sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }+4$

となります。見通しを良くするために $\sin{\theta }=x$ とおくと

$y=-3x^{2}+2x+4$

となります。これは $x$ の2次関数と見ることができますので、平方完成すると

$\displaystyle y=-3\left( x-\frac{1}{3}\right) ^{2}+\frac{13}{3}$

となります。 $x$ のとりうる値の範囲は $0\leqq x\leqq 1$ ですので、 $y$ の最大値は $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ のとき $\frac{13}{3}$ 、最小値は $x=1$ のとき $3$ をとります。

　

(3) $\theta =90^{\circ }$ のとき直角三角形になりますので、その確率は、コインが表3枚出れば良いので

$\displaystyle _{6}C_{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{5}{16}$

となります。三角形が正三角形になるには $a=c$ かつ $\theta =60^{\circ }$ となれば良いので、このようになる状況がさいころの出た目が2回とも同じで、かつコインが表2枚出るときですので、求める確率は

$\displaystyle \frac{1}{6}\times _{6}C_{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{5}{128}$

となります。最後に三角形の面積が整数になる場合ですが、次のときが考えられます。

・ $\theta =30^{\circ }$ で $ac$ が4の倍数であるとき

・ $\theta =90^{\circ }$ で $ac$ が2の倍数であるとき

・ $\theta =150^{\circ }$ で $ac$ が4の倍数であるとき

この3つの状況は同時に起こりませんので、それぞれの確率を求めてすべて足したものが求める確率となります。 $\displaystyle \frac{5}{16}$ となります。

いかがだったでしょうか？

今日が共通テスト1日目です。

1日目は文系科目、2日目が理系科目となっています。

数学の共通テストもいよいよ明日が本番です。

去年の共通テストの数学①の平均点はセンター試験時代と合わせて過去最低でした。要注意科目と言えそうですので、最終確認は忘れずに行ってください。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper