マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2014年中高共通第3問】

図形と計量・図形の性質教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は2014年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文

1辺の長さが $a$ の正四面体 $ABCD$ の体積を $V$ とする。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)体積 $V$ を求めなさい。

(2)この四面体に内接する球の半径 $r$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

正四面体に内接する球の半径を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

四面体の体積は $\displaystyle \frac{1}{3}\times$ (底面積) $\times$ (高さ)で求めることができます。ですので、正四面体の1つの面の面積と高さを求めることがメインになります。

正四面体の1つの面の面積を求める

正四面体の面の形状は正三角形ですので、1辺の長さが $a$ の正三角形の面積を求めることになります。その面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times a\times \sin{60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

となります。

正四面体の高さを求める

正四面体の1つの頂点から向かいの面に垂線を下ろすと、その足は三角形の外心になります。底面を真上から見ると、垂線を下ろす頂点は底面の三角形の各頂点から等しい距離にあります。また、正三角形の性質として外心と重心が一致するというものがあります。重心は中線を $2:1$ に内分する性質があります。下ろした垂線でできる直角三角形の斜辺の長さが $a$ 、垂線ではない辺の長さが $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}a$ となりますので、垂線の長さは三平方の定理より $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a$ となります。これが正四面体 $ABCD$ の高さです。

正四面体の体積を求める

底面積と高さが求められましたので、正四面体の体積を求めます。

$\begin{eqnarray*} V&=&\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\times \frac{\sqrt{6}}{3}a\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}\end{eqnarray*}$

正四面体に内接する球の半径を求める

正四面体に内接する球の半径を $r$ 、正四面体の1つの面の面積を $S$ 、体積を $V$ とすると、正四面体には同じ面積の正三角形が4枚ありますので

$\displaystyle V=\frac{4}{3}Sr$

が成り立ちます。これを用いて、ここまで求めた値をすべて代入すると

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}=\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\times r$

となります。この等式を $r$ の方程式と見て、 $r$ について解くと $\displaystyle r=\frac{\sqrt{6}}{12}a$ となります。

いかがだったでしょうか？

正四面体に関する問題は大学入試においてもよく出題されているようです。

正三角形に関する性質を知っておいたほうが楽に解けるかと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper