マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220724

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京未来大学2016年の問題です。

今回は2日目の第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

お馴染みの四面体の問題です。体積を求めます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

頂点 $O$ から $\triangle ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、この点 $H$ が $\triangle ABC$ の外接円の中心になっていることに注意します。

$\angle BHC=120^{\circ }$ で、点 $H$ が3点 $A,B,C$ を通る円の中心になっていますので、円周角の定理より $\angle BAC=60^{\circ }$ となります。

このことから、 $\triangle ABC$ に正弦定理を用いると、 $BC=7$ であることより $\triangle ABC$ の外接円の半径は $\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}$ であることがわかります。

条件 $AB:AC=2:3$ から、 $AB=2k$ とおくと $AC=3k$ となりますので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると $k=\sqrt{7}$ となります。

ここまでくると、 $\triangle ABC$ の面積を求めることができます。

$\displaystyle \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{7}\times 3\sqrt{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21\sqrt{3}}{2}$

四面体の体積を求めるには、高さが必要ですが、これは $\tan{\angle OAH}=2\sqrt{2}$ であることを用いて、 $\displaystyle AH=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ であることから

$\displaystyle OH=AH\tan{\angle OAH}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\times 2\sqrt{2}=\frac{14\sqrt{6}}{3}$

したがって、四面体 $OABC$ の体積は

$\displaystyle \frac{1}{3}\times \triangle ABC\times OH=\frac{1}{3}\times \frac{21\sqrt{3}}{2}\times \frac{14\sqrt{6}}{3}=49\sqrt{2}$

のように求めることができます。

いかがだったでしょうか？

問題文のヒントをうまく使えば解ける問題でした。

小さい目標を立てて、その目標に到達するために何が必要なのか、ということを考えながら進めると難なくクリアできそうです。

そのためには定理という道具が必要になります。道具はたくさん持っておきたいですね。

　

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