マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2018年1日目第3問】

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京女子大学2018年の問題です。

今回は1日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角形とその外接円に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle ABC$ に正弦定理を用いると、三角形の外接円の半径が $2$ であることから

$\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}=2R$

に $\displaystyle \sin{A}=\frac{\sqrt{7}}{4},\ R=2$ を代入して $BC$ を求めると $BC=3$ と求めることができます。

$\triangle ABC$ は $AB=AC$ である二等辺三角形なので、 $AB=AC=x$ とおいて $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{4-\sqrt{7}}{2}x^{2}=9$

という方程式が導かれますので、この方程式を解くと $x\gt 0$ であることより $x=\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ です。

$x$ の値が二重根号を含んでいますので、これを外す必要があります。

二重根号については次の事柄が成り立っています。

$a\gt 0,\ b\gt 0$ のとき

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$a=1,\ b=7$ とすると

$\sqrt{1+7+2\sqrt{1\cdot 7}}=1+\sqrt{7}$

一方、 $\sqrt{1+7+2\sqrt{1\cdot 7}}=\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ ですので、 $x=1+\sqrt{7}$ ということになります。

いかがだったでしょうか？

二重根号を外すことが難しかったかもしれません。

しかし、入試問題では二重根号が出てくる可能性がありますのでいつでも外せられるようにしておきたいです。

忘れないように3日に1回は練習して方が良いかもしれません。

　

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