マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2021年1日目第4問】

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今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

外接円を使って四角形の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 Cは[tex \triangle ABD]の外接円の中心であることに注意すると BC=CDです。

 Cの円周上の点で直線 BDに対して反対側にある点をA^{\prime }とすると、円周角の定理より \displaystyle \angle BA^{\prime }D=\frac{1}{2}\angle BCDとなります。

 \angle BCDは鈍角ですので、三角関数の相互関係から \displaystyle \cos{\angle BCD=-\frac{4}{5}となります。

半角の公式を用いると \angle BA^{\prime }Dが鋭角であることに注意すると \displaystyle \cos{\angle BA^{\prime }D=\frac{\sqrt{10}}{10}となります。

四角形[ABA^{\prime }D]は円に内接しますので \displaystyle \cos{\angle BAD}=\-\frac{\sqrt{10}}{10}となります。

これで BD \triangle ABDの外接円の半径を求める準備ができました。

 \angle ABD余弦定理を用いると BD=3三角関数の相互関係から \displaystyle \sin{\angle BAD}=\frac{3\sqrt{10}}{10}なので同じ三角形に対して正弦定理を用いると、外接円の半径は \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}となります。

したがって、 \displaystyle BC=CD=\frac{\sqrt{10}}{2}ですので、四角形 ABCDの面積は

 \displaystyle \triangle ABD+\triangle BCD=\frac{9}{4}

となります。

いかがだったでしょうか?

四角形 ABCDが円に内接していないことと、点 Cが[\triangle ABD]の外接円の中心であることに注意が必要です。

中心角の \sin の値が与えられていますので、これを使って \angle BADの三角比の値を求めることが最初の方針になります。

円周角の定理を用いると半角の公式が必要になってくることがわかります。

これさえ乗り切れれば数学Ⅰだけの知識で解くことができます。

 

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