徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文

4点 $A(7,5,0),\ B(0,6,5),\ C(4,4,11),\ D(2,0,9)$ について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}$ の値を求めなさい。

(2)四面体 $ABCD$ の体積を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルを用いて四面体の体積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

座標が与えられていますので、ベクトルを成分表示で求めます。

$\overrightarrow{AB}=(-7,1,5)$

$\overrightarrow{BC}=(4,-2,6)$

$\overrightarrow{BD}=(2,-6,4)$

となります。ベクトルの内積は各成分の積の和になりますので、次のように求めます。

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(-7)\cdot 4+1\cdot (-2)+5\cdot 6=-28-2+30=0$

同様に $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ となります。内積の値が0であれば、その2つのベクトルは直交します。この性質を利用して四面体の体積を求めます。ここまででわかったことは $AB\perp BC$ かつ $AB\perp BD$ であることです。したがって、 $\triangle BCD\perp AB$ ですので、底面を $\triangle BCD$ 、高さを $AB$ とみて四面体[tex; ABCD]の体積を求めます。先ほど求めたベクトルの成分表示を使うと

$|\overrightarrow{AB}|=5\sqrt{3},\ |\overrightarrow{BC}|=2\sqrt{14},\ |\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{14},\ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=44$

となりますので、 $\displaystyle \cos{\angle DBC}=\frac{44}{56}=\frac{11}{14}$ となります。三角関数の相互関係より $\displaystyle \sin{\angle DBC}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$ となりますので、 $\triangle BCD$ の面積は