東京女子大学の問題【2022年2日目第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2022年の問題です。

今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

空間の座標から四面体の体積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

点の座標から $\overrightarrow{AB}=(1,-1,2),\ \overrightarrow{AC}=(-2,1,1)$ であることがわかりますので

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6},\ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6},\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-1$

ということがわかります。したがって $\displaystyle \cos{\angle CAB}=-\frac{1}{6}$ となりますから、三角関数の相互関係より $\displaystyle \sin{\angle CAB}=\frac{\sqrt{35}}{6}$ となります。

よって、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times |\overrightarrow{AB}|\times |\overrightarrow{AC}|\times \sin{\angle CAB}=\frac{\sqrt{35}}{2}$

となります。

$\overrightarrow{p}$ は条件から求めるのですが、 $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ と直交するので $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ かつ $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ が成り立ちます。