マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第1問】

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

3桁の自然数の百の位、十の位、一の位の数を、それぞれ a,\ b,\ cとするとき、次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1) a=bかつ a\gt cを満たす3桁の自然数はいくつあるか求めなさい。

(2) a,\ b,\ cのうち2つが等しく残りの1つがそれよりも小さいような3桁の自然数はいくつあるか求めなさい。

(3) a\gt b\gt cを満たす3桁の自然数はいくつあるのかを求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件を満たす自然数の個数を数える問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

99□になっているパターンを考えると、□には0〜8の9個の数が入ります。同じように88□、77□、66□…となっているパターンを考えていくと、 a=bかつ a\gt cとなっている3桁の自然数の個数は

 9+8+7+\cdots +1=45

となります。 a,\ b,\ cのうち2つが等しく、残りの1つがそれより小さいような3桁の自然数は、先ほど考えた自然数の並びの順列を考えると 45\times 3=135個ありますが、このうち、 a=0となる場合を除く必要があります。 a=0となる並びの個数は9個ありますので、求める総数は 135-9=126個となります。

 a\gt b\gt cとなる3桁の自然数の個数は、0〜9の10個の数のうち異なる3個の数を選んで、左から順番に大きい順に数字を並べればいいので、その総数は10個のものから3つを選ぶ組合せの総数になります。したがって _{10}C_{3}=120個が答えとなります。

いかがだったでしょうか?

条件を満たす自然数の個数を数える問題でした。

このタイプの問題は最初にすべての考えうる3桁の自然数の総数を求める問題が設定されていることが多いので、その場合の数お求められるようにしておいたほうが良さそうです。

指定された条件を満たす場合の数を数えるときは、具体的に数字を書いてみて規則性を見つけ出すと良いです。

 

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