徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

3桁の自然数の百の位、十の位、一の位の数を、それぞれ $a,\ b,\ c$ とするとき、次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1) $a=b$ かつ $a\gt c$ を満たす3桁の自然数はいくつあるか求めなさい。

(2) $a,\ b,\ c$ のうち2つが等しく残りの1つがそれよりも小さいような3桁の自然数はいくつあるか求めなさい。

(3) $a\gt b\gt c$ を満たす3桁の自然数はいくつあるのかを求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件を満たす自然数の個数を数える問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

99□になっているパターンを考えると、□には0〜8の9個の数が入ります。同じように88□、77□、66□…となっているパターンを考えていくと、 $a=b$ かつ $a\gt c$ となっている3桁の自然数の個数は

$9+8+7+\cdots +1=45$

となります。 $a,\ b,\ c$ のうち2つが等しく、残りの1つがそれより小さいような3桁の自然数は、先ほど考えた自然数の並びの順列を考えると $45\times 3=135$ 個ありますが、このうち、 $a=0$ となる場合を除く必要があります。 $a=0$ となる並びの個数は9個ありますので、求める総数は $135-9=126$ 個となります。