マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2008年中高共通第4問】

場合の数と確率教員採用試験の過去問

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今週は2008年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

7個の数字 $0,1,2,3,4,5,6$ から異なる4個の数字を取り出して、一列に並べ4桁の整数を作る。次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1)整数は何個できるか。

(2) $3600$ より大きい整数は何個できるか。

(3)3の倍数は何個できるか。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

異なる数字からできる4桁の整数の個数を数える問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

7個の数字から異なる4個を選んで一列に並べる総数は $_{7}P_{4}=840$ 通りあります。

4桁の整数を作るためには、最高位が0以外である必要があるので、そのような数の並びを除きます。0を取り出した場合は、一番左に0が来る場合が何通りあるかを数えますが、その総数は $1\times _{6}P_{3}=120$ 通りあります。

したがって、できる4桁の整数の個数は $840-120=720$ 個あります。

$3600$ より大きい整数は、次のように場合分けを行って数えていきます。

・36□□のパターン→ $5\times 4=20$ 個

・4□□□のパターン→ $6\times 5\times 4=120$ 個

・5□□□のパターン→ $6\times 5\times 4=120$ 個

・6□□□のパターン→ $6\times 5\times 4=120$ 個

以上のパターンは同時に起こりませんので、すべてのパターンの場合の個数を足して $380$ 個です。

$3$ の倍数となる整数は、 $3$ の倍数となる数字の組合せを先に考えます。その組合せは以下の通りになります。

・ $0,1,2,3$

・ $0,1,2,6$

・ $0,1,3,5$

・ $0,1,5,6$

・ $0,2,3,4$

・ $0,2,4,6$

・ $0,3,4,5$

・ $0,4,5,6$

・ $1,2,3,6$

・ $1,2,4,5$

・ $1,3,5,6$

・ $2,3,4,6$

・ $3,4,5,6$

$0$ が含まれる場合は $4!-3!=18$ 通りの順列があり、この組合せが $8$ 通り、 $0$ が含まれない場合は順列が $4!=24$ 通りの順列があり、この組合せが $5$ 通りあります。したがって、 $3$ の倍数となる整数の総数は

$18\times 8+24\times 5=144+120=264$ 個

となります。

いかがだったでしょうか？

場合の数は小手調べをするときは順序よく数え上げていくことがポイントになります。

そうしないと数え漏れやダブって数えてしまうおそれがあります。

数え間違いでミスが多発しますので、注意深く数えるか、数え漏れ・ダブりを防ぐ方法を確立させておきたいですね。

　

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