徳島県教員採用試験の問題【2010年高等学校第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は2010年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は高等学校第1問です。

今回の問題の原文

関数 $\displaystyle f(x)=\frac{2x}{(x+1)^{2}}$ について、次の(1)〜(4)の問いに答えなさい。

(1)導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めなさい。

(2)関数 $y=f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めなさい。

(3) $a\gt 0$ とするとき、定積分 $\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx$ を求めなさい。

(4)極限値 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\left\{ \frac{2}{(n+1)^{2}}+\frac{4}{(n+2)^{2}}+\frac{6}{(n+3)^{2}}+\cdots +\frac{2n}{(n+n)^{2}}\right\}$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

分数関数の微分積分の問題です。数学Ⅲの内容を含みます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

分数関数の微分は普通であれば商の微分の公式を使って求めますが、積の微分の公式を使うほうがわかりやすいかもしれません。次のように考えてみてください。

$\begin{eqnarray*} f^{\prime }(x)&=&(2x)^{\prime }\frac{1}{(x+1)^{2}}+2x\cdot \left( \frac{1}{(x+1)^{2}}\right) ^{\prime }\\ &=&\frac{2}{(x+1)^{2}}-2\frac{2x}{(x+1)^{3}}\\ &=&\frac{2x+2-4x}{(x+1)^{3}}\\ &=&\frac{-2x+2}{(x+1)^{3}}\end{eqnarray*}$

これで商の導関数の公式は忘れても大丈夫です。これにより、関数 $f(x)$ の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &-1&\cdots &1&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&-&\ &+&0&-\\ \hline f(x)&\searrow &\ &\nearrow &\displaystyle \frac{1}{2}&\searrow \\ \hline \end{array}$

この増減表からだと、 $x$ の値を無限に小さくすると $f(x)$ が無限に大きくなる可能性があります。ですので、極限値 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty }f(x)$ を求めておく必要があります。 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty }f(x)=0$ ですので、 $f(x)$ の最大値は、増減表から $x=1$ のとき $\displaystyle \frac{1}{2}$ となります。

$\displaystyle \frac{2x}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}}$ であることから

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}f(x)dx&=&\int_{0}^{a}\left( \frac{2}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}}\right) dx\\ &=&2\left[ \log{(x+1)}+\frac{1}{x+1}\right] _{0}^{a}\\ &=&2\left( \log(a+1)+\frac{1}{a+1}-1\right) \end{eqnarray*}$

となります。この問題が(4)へのヒントになります。(4)については区分求積法により

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{(n+k)^{2}}&=&\lim_{n\to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2\frac{k}{n}}{(1+\frac{k}{n})^{2}}\\ &=&\int_{0}^{1}\frac{2x}{(1+x)^{2}}dx\\ &=&2\log{2}-1\end{eqnarray*}$