マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2010年中学校第2問】

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今週は2010年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中学校第2問です。

今回の問題の原文

 \triangle ABCの辺 AB,\ ACの中点をそれぞれ D,\ Eとすると、 \displaystyle DE//BC,\ DE=\frac{1}{2}BCとなることを、図に四角形をかき、第2学年の学習内容を使って証明しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

中点連結定理の証明です。一部学習指導要領に関する知識が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の問題は中点連結定理を証明する問題です。定理に関しては中学3年の「相似な図形」の項目で出ますので、三角形の相似を用いて次のように証明するのが普通です。

中点連結定理の証明(相似な図形を用いた証明)

 \triangle ABC \triangle ADEにおいて

仮定より AB:AD=AC:AE=2:1…①

共通の角なので \angle CAB=\angle EAD…②

①、②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので \triangle ABC \triangle ADE

相似な図形の対応する角は等しいので \angle AED=\angle ACB

同位角が等しいので DE//BC

また、相似な図形の対応する辺の比は等しいので BC:DE=2:1すなわち \displaystyle DE=\frac{1}{2}BC

中学第2学年の学習内容を考えてみる

先ほどの証明では、相似な図形の性質を使って証明を行いました。この性質は中学第3学年で学習する内容となりますので、今回の問題に対して上の証明を解答するのは不適切です。中学第2学年で学習する図形の内容は

・三角形の合同

二等辺三角形、正三角形の性質

・平行四辺形の性質、平行四辺形になる条件

が主な内容です。この内容の知識を用いた証明を解答することが適切な解答になります。

中点連結定理の証明(中学第2学年の内容を用いた証明の例)

 Aを通り辺 BCに平行な直線と、点 Cを通り辺 ABに平行な直線との交点を Fとし、直線 DEと直線 CFとの交点を Gとする。このとき、 \triangle ADE \triangle CGEにおいて

仮定より AE=CE…①

対頂角は等しいので \angle DEA=\angle GEC…②

平行線の錯角は等しいので \angle EAD=\angle ECG…③

①、②、③より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので \triangle ADE\equiv \triangle CGE

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので AD=CG…④

また、仮定より AD=DB…⑤

④、⑤より BD=CG…⑥

また、 BD//CG…⑦

⑥、⑦より1組の向かい合う辺が等しくて平行なので、四角形 DBCGは平行四辺形である。

したがって、 BC=DG…⑧かつ BC//DG…⑨

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので DE=GE…⑩

⑧、⑩より \displaystyle DE=\frac{1}{2}BC

⑨より BC//DE

いかがだったでしょうか?

今回の問題は学習指導要領の内容に沿って中点連結定理を証明する問題でした。

中学では学年が異なると学習する内容が異なりますので、各学年に対応した証明があれば別解として考えておく必要があります。

中学の各学年で習う内容や高校の各科目で習う内容を把握すると定理の違った証明が発見できるかもしれません。

 

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