マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

対数関数の問題ver.20220605

指数関数と対数関数教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された三角関数・指数関数・対数関数の問題です。

今回は愛知県教員採用試験で出題された対数関数の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

3次関数を扱う必要がありますので微分の知識が要りますが、そこまで難しくはないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

対数関数を扱う際には真数条件に注意します。

今回の関数には $\log_{4}{(x+2)}$ と $\log_{4}{(4-x)}$ が含まれていますので、これらがともに値を持つためには $x+2＞0$ かつ $4-x＞0$ でなければいけません。

これが真数条件です。真数条件を満たす $x$ の値の範囲は $-2＜x＜4$ となります。

この条件下で関数の最大値を求めます。

以下の対数関数の性質を使います。

$\log_{a}{P}+\log_{a}{Q}=\log_{a}{PQ},\ \log_{a}{P^{n}}=n\log_{a}{P}$

この対数関数の性質を使って関数を変形すると

$\log_{4}{(-x^{3}+12x+16)}$

となります。

対数関数の底が4で1より大きいので、あとは $-x^{3}+12x+16$ の最大値を求めれば関数の最大値が求められます。

$g(x)=-x^{3}+12x+16$ とおくと、 $g(x)$ は3次関数になりますので、導関数を求めることにより増減を調べます。

$g^{\prime }(x)=-3x^{2}+12=-3(x^{2}-4)$ ですので、 $x=2$ のとき極大値をとります。

したがって、 $-2＜x＜4$ の区間では $x=2$ のとき $g(x)$ が最大となります。

$g(2)=32$ ですので、関数の最大値は $\displaystyle \log_{4}{32}=\frac{5}{2}$ になります。

いかがだったでしょうか？

対数関数の性質を理解していれば難なく解ける問題でした。

後半は最大・最小問題に持ち込むだけですが、これは導関数さえわかれば解決できるケースが多いです。

持っている数学の知識を自由自在に操れるようにすることが大事かもしれませんね。

　

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