徳島県教員採用試験の問題ver.20220706 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は徳島県教員採用試験＋神戸市教員採用試験の問題です。

今回は徳島県教員採用試験で出題された対数関数の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数の性質を使って条件を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

等式 $\displaystyle f(a)=f(b)=3f\left( \frac{a+b}{2}\right)$ から $a$ と $b$ の条件を導き出す問題です。

$f(a)=f(b)$ より $|\log_{10}{a}|=|\log_{10}{b}|$ ですが、 $a＜b$ なので $\log_{10}{a}=-\log_{10}{b}$ となります。

したがって、 $\log_{10}{a}+\log_{10}{b}=0$ から対数関数の性質を使って $ab=1$ であることが導かれます。

$\displaystyle f(b)=f\left( \frac{a+b}{2}\right)$ から $\displaystyle |\log_{10}{b}|=\left| \log_{10}{\left( \frac{a+b}{2}\right) }\right|$ となります。

ここで問題となるのは絶対値記号を外すことです。

これは絶対値記号の中が正数か負の数かで外し方が異なりますので、そのチェックが必要となります。

条件 $0＜a＜b$ から相加平均と相乗平均の関係より $\displaystyle \frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ が成り立ちますが、先ほど導いた条件 $ab=1$ がありますので、 $\displaystyle \frac{a+b}{2}=1$ が成り立ちます。

等号成立は $a=b$ のときですが、 $a$ と $b$ の条件から等号は成り立ちませんので、結局 $\displaystyle \frac{a+b}{2}＞1$ ということが言えます。

また、 $\displaystyle b=\frac{b+b}{2}＞\frac{a+b}{2}＞1$ ということが言えますので、 $\log_{10}{b}＞0$ であることと $\displaystyle \log_{10}{\left( \frac{a+b}{2}\right) }＞0$ であることが確認できました。

したがって、 $\displaystyle \log_{10}{b}=3\log_{10}{\left( \frac{a+b}{2}\right) }$ ということがわかりますので、対数関数の性質から $\displaystyle b=\left( \frac{a+b}{2}\right) ^{3}$ という条件が導かれます。