マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第5問】

指数関数と対数関数教員採用試験の過去問

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今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題の第5問です。

今回の問題の原文

関数 $y=x^{\log_{10}{x}-1}$ について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $X=\log_{10}{x}$ とおき、 $\log_{10}{y}$ を $X$ の関数で表しなさい。

(2) $1\leqq x\leqq 100$ のとき、 $y=x^{\log_{10}{x}-1}$ の最大値、最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

指数関数・対数関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$y=x^{\log_{10}{x}}$ の両辺の常用対数を取ると

$\log_{10}{y}=\log_{10}{x^{\log_{10}{x}-1}}$

となります。対数関数の性質を用いて計算をしていくと

$\log_{10}{y}=\left( \log_{10}{x}-1\right) \log_{10}{x}$

$=\{ \log_{10}{x}\} ^{2}-\log_{10}{x}$

$\displayatyle =X^{2}-X=\left( X-\frac{1}{2}\right) ^{2}-\frac{1}{4} (0/leqq X\leqq 2)$

となります。したがって、 $\log_{10}{y}$ は $\displyatyle X=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\displaystyle -\frac{1}{4}$ 、 $X=2$ のとき最大値 $2$ をとります。置き換えたものを全て元に戻すと

$y=x^{\log_{10}{x}-1}$ は $x=\sqrt{10}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{10}}$ 、 $x=100$ のとき最大値 $100$ をとることがわかります。

いかがだったでしょうか？

対数関数の基本性質をおさえておけば難なく解けるかと思います。

指数に対数関数が含まれているので難しい部分ではありますが、対数をとることが誘導されていますので、誘導に従って解いていけば大丈夫です。

　

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