徳島県教員採用試験の問題【2021年中高共通第2問】

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今回の問題

今週は2021年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $0^{\circ }\lt \theta \lt 90^{\circ }$ とするとき、三平方の定理を用いて $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ であることを示しなさい。

(2) $0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ で $P=2\cos^{2}{\theta }+\sin{\theta }-2$ とおくとき、 $P$ の最大値と最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の最小値と最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

三角比の相互関係

三角比の相互関係として

(1) $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$

(2) $\displaystyle \tan{\theta }=\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}$

(3) $\displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}$

の3つがあります。そのうちの(1)はよく使います。三平方の定理を用いて(1)が成り立つことを証明してみます。

$\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ の証明

上の直角三角形において $AB=y,\ BC=x,\ CA=r,\ \angle ACB=\theta$ とおくと、三平方の定理より

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

が成り立つ。この式の両辺を $r^{2}$ で割ると

$\displaystyle \left( \frac{x}{r}\right) ^{2}+\left( \frac{y}{r}\right) ^{2}=1$ …①

ここで三角比の定義より $\displaystyle \cos{\theta }=\frac{x}{r},\ \sin{\theta }=\frac{y}{r}$ なので①より

$\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$

が成り立つ。

$P=\2cos^{2}{\theta }+\sin{\theta }-2$ の最大値と最小値を求める

今回の関数は $\cos{\theta }$ と $\sin{\theta }$ で表されています。基本的に $\cos{\theta }$ か $\sin{\theta }$ に統一するのが良いのですが、 $\sin{\theta }$ について1次式ですので、三角比の相互関係を用いて $\sin{\theta }$ に統一します。そうすると