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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は2012年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第2問です。
今回の問題の原文
が3つの不等式
を満たすとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1)3つの不等式で表された領域の面積を求めなさい。
(2)の最大値および最小値を求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
不等式で表された領域を求めて、式の最大値と最小値を求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
不等式で表された領域を図示すると、次のようになります。
この三角形の頂点の座標はです。したがって、この三角形の3辺の長さは
となります。3辺の長さがわかりましたので、余弦定理を使って
の値を求めます。それができれば、三角関数の相互関係を使って
の値を求めます。この方法で図でできている三角形の面積を求めると
となります。
とおくと、この式は円を表します。
が最大となるのは、点
を通るときで、このときの
の値は
です。また、
の値が最小となるのは、この円が直線
に接するときで、このとき半径はこの直線と原点との距離になります。それを求めると
となりますので、
となります。これが
の最小値となります。
いかがだったでしょうか？
図を描く必要がある問題は必ず図を描くようにしてください。
そうしないと解法の方針が見えてきません。
図を描くことは意外と大事です。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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