マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

共通テスト前の確認数学Ⅱ+B編【三角関数】

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅱ+B編です。

今回は三角関数です。

今回の問題の原文

(1) 0\leqq \theta \lt 2\pi のとき、関数 y=\cos^{2}{\theta }+2\sin{\theta }の最大値と最小値を求めよ。

(2) 0\leqq \theta \leqq \pi のとき、関数 y=3\cos{2\theta }+4\sin{2\theta }+6\sin{\theta }+12\cos{\theta }の最大値と最小値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)このタイプの問題は \sin{\theta } \cos{\theta }に合わせます。 \sin{\theta }の方は式変形ができませんのでこれに合わせます。三角関数の相互関係を使えば \cos^{2}{\theta }=1-\sin^{2}{\theta }ですので、 y \sin{\theta }だけの式で表すと

 y=-\sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }+1

となります。見通しを良くするために t=\sin{\theta }とおくと、 tのとりうる値の範囲は 0\leqq \theta \lt 2\piより -1\leqq t\leqq 1で、 y

 y=-t^{2}+2t+1

となります。先ほど求めた tの値の範囲内での yの最大値と最小値を求めます。 y tの2次関数で表されていますので、平方完成すると

 y=-(t-1)^{2}+2

となります。したがって、 y t=1すなわち \displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}のとき最大値 2 t=-1すなわち \displaystyle \theta =\frac{3}{2}\pi のとき最小値 -2をとります。

(2)このタイプの問題は t=a\sin{\theta }+b\cos{\theta }とおいて、置き換えた文字で式変形します。最近のこのタイプの入試問題では置き換えが指定されている場合が多いので、その通りに解き進めていけば置き換えた式の2次式か3次式になるはずです。3次式になった場合は3次関数を扱うことになりますので、導関数の知識が必要になります。

今回のパターンの問題は、三角関数の合成を必ず行います。最近の入試問題では r\sin{(\theta +\alpha )}の形にするように問題設定がされています。三角関数の合成の公式は

 a\sin{\theta }+b\cos{\theta }=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(\theta +\alpha )}

ただし \displaystyle \sin{\alpha }=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\ \cos{\alpha }=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

でした。今回は a=1,\ b=2とした場合ですので、この公式から

 x=\sqrt{5}\sin{(\theta +\alpha )}

ただし \displaystyle \sin{\alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \cos{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}

となります。また、 xのとりうる値の範囲は、 0\leqq \theta \leqq \pi より -2\leqq x\leqq \sqrt{5}で、 y xで表すと

 y=2x^{2}+6x-5

となります。これは xの2次関数なので、平方完成による式変形を行うと

 \displaystyle y=2\left( x+\frac{3}{2}\right) ^{2}-\frac{19}{2}

となります。したがって、 y x=\sqrt{5}のとき最大値 6\sqrt{5}+5 \displaystyle x=-\frac{3}{2}のとき最小値 \displaystyle -\frac{19}{2}をとります。

いかがだったでしょうか?

今回は三角関数の最大・最小問題を出題しました。

三角関数の単元のメインは加法定理です。これを自由自在に操れるかがポイントになります。

倍角の公式や三角関数の合成の公式のような加法定理と絡んだものが多く出てきていますので、一度証明してみても良いかもしれません。

 

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