共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編【三角関数】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編です。

今回は三角関数です。

今回の問題の原文

(1) $0\leqq \theta \lt 2\pi$ のとき、関数 $y=\cos^{2}{\theta }+2\sin{\theta }$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) $0\leqq \theta \leqq \pi$ のとき、関数 $y=3\cos{2\theta }+4\sin{2\theta }+6\sin{\theta }+12\cos{\theta }$ の最大値と最小値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)このタイプの問題は $\sin{\theta }$ か $\cos{\theta }$ に合わせます。 $\sin{\theta }$ の方は式変形ができませんのでこれに合わせます。三角関数の相互関係を使えば $\cos^{2}{\theta }=1-\sin^{2}{\theta }$ ですので、 $y$ を $\sin{\theta }$ だけの式で表すと

$y=-\sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }+1$

となります。見通しを良くするために $t=\sin{\theta }$ とおくと、 $t$ のとりうる値の範囲は $0\leqq \theta \lt 2\pi$ より $-1\leqq t\leqq 1$ で、 $y$ は

$y=-t^{2}+2t+1$

となります。先ほど求めた $t$ の値の範囲内での $y$ の最大値と最小値を求めます。 $y$ は $t$ の2次関数で表されていますので、平方完成すると

$y=-(t-1)^{2}+2$

となります。したがって、 $y$ は $t=1$ すなわち $\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}$ のとき最大値 $2$ 、 $t=-1$ すなわち $\displaystyle \theta =\frac{3}{2}\pi$ のとき最小値 $-2$ をとります。

(2)このタイプの問題は $t=a\sin{\theta }+b\cos{\theta }$ とおいて、置き換えた文字で式変形します。最近のこのタイプの入試問題では置き換えが指定されている場合が多いので、その通りに解き進めていけば置き換えた式の2次式か3次式になるはずです。3次式になった場合は3次関数を扱うことになりますので、導関数の知識が必要になります。